Esqueleto de la categoría de esqueleto categorías?

Question

Una categoría es un esqueleto si, a grandes rasgos, no hay dos objetos distintos dentro de la categoría son isomorfos. Para cada categoría se asocia a un esqueleto, y dos categorías son categóricamente "equivalentes" si y sólo si sus esqueletos son isomorfos. Una definición más completa se puede encontrar aquí.

Considerar la subcategoría de $\bf{Cat}$ que toma como objetos de las categorías que son esqueletos, y morfismos los functors entre ellos; voy a llamar a esta $\bf{{Cat}_{Skel}}$. Tenga en cuenta que este no es el esqueleto de $\bf{Cat}$ sí, pero una subcategoría de $\bf{Cat}$ en el que los objetos son esquelético categorías.

Dentro de esta subcategoría de las categorías, hay una serie de objetos que son, ellos mismos, isomorfo. Así que podemos tomar el esqueleto de esta categoría, por lo tanto la obtención de una nueva categoría, que voy a llamar a $\bf{Skel({Cat}_{Skel})}$. (No me importa que el esqueleto de tomar; elegir uno.)

Esta categoría es de destacar que contiene un objeto para cada uno de equivalencia de la clase de categorías en $\textbf{Cat}$, lo que es quizás más útil que mirar a $\bf{Skel({Cat})}$ sí, que sólo contiene un objeto para cada isomorfismo clase de categorías. Mis preguntas son:

1. Qué $\bf{Skel({Cat}_{Skel})}$ tiene un nombre?
2. Ha esta categoría se han estudiado con detalle, y si es así, por favor alguien puede de referencia me hacia cualquier investigación que se ha hecho en su estructura?
3. Hay esencialmente equivalente a la construcción de lo que podría ser definido de manera más simple de la manera que yo he puesto aquí?
4. Hay zonas útiles de estudio, en el que esta categoría surge naturalmente?

Por último, me ha glosado las habituales cuestiones fundamentales que se plantean al considerar $\bf{Cat}$, sobre todo porque no me importa si usted utiliza Grothendieck universos, o una clase de teoría de conjuntos, o sólo mirar categorías pequeñas, o de alguna otra manera de resolver el problema. Siéntase libre de utilizar cualquier enfoque fundamental que desea que hace que $\bf{Skel({Cat}_{Skel})}$ a ser consistente.

Answer 1

No estoy totalmente seguro de lo que usted está buscando en una respuesta, pero quizás me quedo con la carne de mi comentario.

Esto se parece a lo que usted describe es equivalente a la homotopy categoría asociada a la estructura del modelo de Gato donde el débil equivalencias son equivalencias de categorías. (Puedo decir "la" porque no es sólo una de ellas, como se señaló en los comentarios. El cofibrations son functors inyectiva en los objetos, y la fibrations son "isofibrations".)

Yo diría que, en este contexto, la categoría ha sido muy estudiado. En particular, es interesante hacer preguntas acerca de homotopy límites y colimits en esta categoría debido a que muchos útil construcciones surgen de esta manera. (Homotopy (co)límites con este modelo de estructura de la misma como "2-(co)límites" que es el nombre que aparece en la mayoría de la literatura, especialmente los más antiguos de la literatura.)

Un ejemplo de aplicación de este lenguaje es el siguiente teorema: La subcategoría de presentable (resp. accesible) categorías es cerrado bajo homotopy límites.

El uso de este se puede demostrar que la mayoría de sus cosas favoritas son presentable (resp. accesible). Por ejemplo, la categoría de los módulos a través de una mónada surge a través de un homotopy límite de la construcción, y de esto se ocupa de la mayoría de las cosas de interés.

He aquí una cuidada aplicación de este (que es el ordinario de la categoría de versión de un resultado que se puede encontrar, por ejemplo, en Lurie HTT, 5.5.4.16.).

Decir que quieres localizar una categoría $\mathcal{C}$ con respecto a algunos de la colección de morfismos, $S$. Usualmente $S$ no va a ser dado como un conjunto, pero si $\mathcal{C}$ es presentable usted está por lo general bien si $S$ es generado por un conjunto. Bien, resulta que si $F: \mathcal{C} \rightarrow \mathcal{D}$ es un colimit preservar functor entre presentable categorías, y $S$ es un (fuertemente saturado) de la colección de morfismos en $\mathcal{D}$ que es generado por un conjunto, $f^{-1}S$ es un (fuertemente saturado) de la colección de morfismos generado por un conjunto. El argumento va por la manera de mostrar que la subcategoría de la categoría de morfismos generado por $f^{-1}S$ es presentable, utilizando un homotopy retirada de la plaza.

La adaptación de este a la categoría de modelos o $\infty$-ajuste de categoría, se ve inmediatamente que la localización con respecto a la homología de las teorías es totalmente bueno y sigue formalmente a partir de este tipo de argumento. (Básicamente, después de tocar el violín alrededor con las células para probar la categoría de los espectros es presentable, usted no tiene que jugar más para obtener localizaciones. Esto está en contraste con el argumento habitual encontrar en Bousfield del papel. Has cambiado la cardinalidad de la contabilidad en un argumento general sobre homotopy límites de la presentable categorías).

De todos modos, pido disculpas por el muy idiosincrásica de la aplicación de este lenguaje; estas cosas han estado en mi mente últimamente. Estoy seguro de que hay mucho más elementales razones por las que a uno le interesa utilizar el modelo de estructura de categorías en nº de Cat.