Hay dos ligeramente diferentes nociones de ultraproduct. ¿Por qué dice que es mejor que el otro?

Question

Deje $I$ a un y $\mathcal{U}$ un ultrafilter en $I$. Deje $(X_i)_{i \in I}$ ser $I$-familia indizada de conjuntos. El ultraproduct de la familia $(X_i)$ con respecto al $\mathcal{U}$ es, todo el mundo está de acuerdo, otro conjunto. Pero qué serie es? Hay dos definiciones diferentes, y a veces dan resultados diferentes.

Por el bien de la discusión, yo les llamo "Tipo 1" y "Tipo 2" ultraproducts.

Tipo 1 $\ $ El tipo 1 ultraproduct de $(X_i)_{i \in I}$ con respecto al $\mathcal{U}$ es $$ \Bigl( \prod_{i \in I} X_i \Bigr) \Bigl/ \sim $$ donde $$ (x_i)_{i \in I} \sim (x'_i)_{i \in I} \ffi \{ i \in I: x_i = x'_i \} \in \mathcal{U}. $$

Tipo 2 $\ $ Ver el poset $(\mathcal{U}, \subseteq)$ como una categoría. El tipo 2 ultraproduct de $(X_i)_{i \in I}$ con respecto al $\mathcal{U}$ es el colimit de la functor $(\mathcal{U}, \subseteq)^{\text{op}} \to \mathbf{Set}$ definida de objetos por $$ J \mapsto \prod_{j \in J} X_j $$ y en los mapas de proyección. Explícitamente, entonces, el Tipo 2 es ultraproduct $$ \Bigl( \coprod_{J \in \mathcal{U}} \prod_{j \in J} X_j \Bigr) \Bigl/ \aprox $$ donde $$ (x_j)_{j \in J} \approx (x'_k)_{k \in K} \ffi \{ i \in J \cap K: x_i = x'_i \} \in \mathcal{U}. $$

La diferencia $\ $ Los dos tipos de ultraproduct son las mismas que si bien ninguno de los conjuntos de $X_i$ están vacías o casi todos ellos están vacíos. Pero en el otro caso, donde al menos uno de $X_i$ está vacía, pero el conjunto de $i$ no es lo suficientemente grande como para pertenecer a $\mathcal{U}$, son diferentes: el Tipo 1 ultraproduct está vacía, pero el Tipo 2 ultraproduct no lo es.

La pregunta $\ $ he leído en un par de textos (tanto los que vienen desde el punto de vista de la lógica categórica) que el Tipo 2 ultraproduct es realmente la correcta. Pero, ¿por qué? ¿En qué criterios es el Tipo 2 juzgado para ser mejor que los de Tipo 1?

Una vaga adivinar una respuesta $\ $ creo que puedo adivinar muy aproximadamente lo que está pasando. No ha sido una tradición en la lógica, tal vez morir ahora? — de tomar todas las estructuras a ser no vacío por definición. Pero cuando se mueve a la más general de la configuración de la lógica categórica, que no será satisfactoria. Aunque en la categoría de conjuntos, sólo hay un único objeto sin elementos, en muchas otras categorías, hay un montón de interesantes objetos sin (global) elementos: por ejemplo, hay un montón de interesantes poleas con ningún global de las secciones.

De manera categórica la lógica, en ocasiones, implica una modificación de la clásica, basada en la lógica, con el fin de manejar vacía de conjuntos/tipos de forma satisfactoria. Me imagino que algo de eso está pasando aquí. (Yo sólo define ultraproducts de conjuntos, pero usted podría, por supuesto, definir ultraproducts de objetos de cualquier otro suficientemente completa categoría.) Pero aún así, no veo con claridad por qué el Tipo 2 es la elección correcta.

Ver también Esta cuestión de Joel David Hamkins, y sus respuestas.

Answer 1

Dado que la pregunta se menciona en los textos de una categórica-lógica punto de vista, que tiende a conectarse con la lógica constructiva, y desde Francois de la respuesta (con la que estoy completamente de acuerdo) adopta el punto de vista de la lógica clásica, parece que merece la pena para añadir el siguiente. Como Francois dijo, vacío dominios no son muy interesantes, así que es natural para ignorarlos. Pero en la lógica constructiva, no puede ser decidable si un dominio está vacía. Es decir, dado un conjunto $D$, un general no puede afirmar que cualquiera de las $D$ está vacía (y por lo tanto seguro ignorar) o $D$ tiene un miembro. Para demostrar que las dos definiciones de ultraproduct dar la misma (es decir, canónicamente isomorfo) los resultados, una de las necesidades que los dominios de las estructuras que tienen los miembros (y de hecho, se necesita una función de elección para estos dominios). Si uno está trabajando en el modelo constructivo de la teoría (pero se las arregló de alguna manera para conseguir el asimiento de un ultrafilter), entonces es una mala idea tratar de ignorar vacío estructuras, y por lo tanto uno debe prestar atención a la diferencia entre las dos definiciones de ultraproduct.

Answer 2

Una vez le pregunté a un lógico ¿por qué insistió en que álgebras no puede ser vacío. En Graetzer, el libro de álgebra universal, tiene un teorema de que la intersección de cualquier familia de subalgebras de un álgebra está vacío o una subalgebra. La respuesta a la sin nombre lógico me dio fue que era porque ultraproducts no funciona bien lo contrario. Específicamente, debe ser el caso (como de hecho es con la segunda definición) que un ultraproduct estar vacío si el conjunto de vacíos factores en la ultrafilter. La propiedad de ser vacío, supongo que una de primer orden de la propiedad (que es, en realidad?) y debe reaccionar como cualquier otro de primer orden de la propiedad. De todos modos, la segunda definición, obviamente no tiene la propiedad deseada. Por lo que cualquier categorist va a insistir en la segunda definición.

Answer 3

El principal factor en la elección entre el Tipo 1 y Tipo 2 ultraproducts es si está o no vacía dominios de tener sentido en el contexto dado.

Una mayoría de los sistemas lógicos de la lógica de primer orden no permiten vacío dominios. Esto evita una gran cantidad de dificultades técnicas. Desde vacía estructuras son, posiblemente, no que muy interesante, no hay mucha pérdida en ello. Este supuesto simplificar ofrece una multitud de ventajas técnicas que ocurren durante el desarrollo de la lógica. Por ejemplo, cuando se establecen las bases para las estructuras y modelos, es muy útil tener siempre al menos una variable de asignación. Sin embargo, tal supuesto simplificar no es en absoluto necesario y es posible desarrollar la lógica de primer orden en una manera que permite a los dominios de vacío.

Otra rutina de la simplificación de la suposición de que sólo hay un tipo de objeto. De hecho, varios tipos siempre puede ser simulado utilizando los predicados unarios para distinguir los diferentes dominios. Sin embargo, hay muchos contextos en los que varias ordenaciones hacer un montón de sentido y este predicado unario "hack" es indeseable. Categórica lógica es tal contexto.

El uso de varios tipos amplifica el vacío de dominio de problema. De hecho, cada especie tiene su propio dominio y una estructura no es necesariamente poco interesante cuando algunos de estos dominios están vacías. Cuando todos los dominios son no vacías, no hay ninguna diferencia entre el Tipo 1 y Tipo 2 ultraproducts. Sin embargo, si sólo uno de los dominios se vacía en las estructuras que participan en un Tipo de 1 ultraproduct, entonces el dominio correspondiente de la ultraproduct también estará vacía. Esto viola la idea básica de que la ultraproduct captura lo que sucede "casi siempre" en la colección de estructuras. Este problema se corrigió con el Tipo 2 ultraproducts donde el ultraproduct de dominio no vacío, precisamente cuando "casi totalidad" de los dominios correspondientes en las estructuras implicadas en el ultraproduct son no vacíos.

(Tenga en cuenta que si los predicados unarios son utilizados para distinguir clases utilizando el "hack" que se ha descrito anteriormente, entonces el Tipo 1 ultraproduct hace lo correcto y que el resultado final es el "hackeado" la versión de lo que sería el Tipo 2 ultraproduct de las estructuras).

Answer 4

Michael Barr señaló una cosa que va mal si intenta utilizar el tipo 1 definición cuando algunos de los conjuntos involucrados están vacías. Ahora que entiendo que este problema mejor, voy a señalar un par de cosas que van mal. Ambos son de la forma "de este teorema tiene limpiamente para el tipo 2 ultraproducts, pero para el tipo 1 usted tiene que hacer excepciones".

Voy a utilizar la notación estándar para el ultraproduct de $(X_i)_{i \in I}$ con respecto a un ultrafilter $\mathcal{U}$ a $I$: $$ \Bigl( \prod_{i \in I} X_i \Bigr) \bigl/ \mathcal{U} $$ (para cualquiera de las dos definiciones). La notación se hace más sentido para el tipo 1 de tipo 2, pero no importa.

(1) Ultraproduct con respecto a un director de ultrafilter es la proyección. Es decir, si $k \in I$ e $\mathcal{U}$ es el principal ultrafilter en $k$ entonces $(\prod X_i)/\mathcal{U} = X_k$. Esto es cierto, sin excepción, para el tipo 2 ultraproducts. Es casi cierto, para el tipo 1, pero no si $X_k \neq \emptyset$ e $X_i = \emptyset$ para algunos $i \neq k$.

(2) Ultraproducts preservar finito co-productos. Es decir, la escritura de $+$ para el subproducto (distinto de la unión) de conjuntos, $$ \Bigl( \prod_{i \in I} (X_i + Y_i) \Bigr) \bigl/ \mathcal{U} \cong \Bigl( \prod_{i \in I} X_i \Bigr) \bigl/ \mathcal{U} + \Bigl( \prod_{i \in I} Y_i \Bigr) \bigl/ \mathcal{U} $$ para cualquier familia de conjuntos de $(X_i)$ e $(Y_i)$. Esto es cierto, sin excepción, para el tipo 2 ultraproducts (usando el hecho de que estos son *ultra*$\mbox{}$filtros). Pero de nuevo, no es del todo cierto para el tipo 1: puede fallar cuando algunos de los conjuntos están vacías. Por ejemplo, supongamos $I$ ser un conjunto, elegir cualquier subconjunto no vacío $J$ de % de$I$, y poner $$ X_i = \begin{cases} 1 &\text{if } i \in J\\\ \emptyset &\text{otherwise} \end{casos} \qquad\ \qquad Y_i = \begin{cases} \emptyset &\text{if } i \in J\\\ 1 &\text{otherwise,} \end{casos} $$ donde $1$ denota un elemento de conjunto. A continuación, según el tipo de definición 1, $(\prod(X_i + Y_i))/\mathcal{U} = 1$ pero $(\prod X_i)/\mathcal{U} + (\prod Y_i)/\mathcal{U} = \emptyset$.

Supongo que todas estas cosas que van mal están íntimamente relacionados con la Łoś del teorema, que Michael ha aludido.