¿Por qué la categoría de Motivos se Tannakian?

Question

Después de leer la respuesta a mi pregunta anterior: ¿cuáles son las diferentes teorías que la motivic grupo fundamental de los intentos de unificar?

Me decidí a leer sobre Tannakian formalismo.

Dada la categoría numérica motivos, y suponiendo que la Conjetura de C de la norma conjeturas (la referente a la calificación numérica de motivos), se puede construir una categoría que será Tannakian. Esto se hace cambiando el signo de la `canónica" de morfismos $h^iX\otimes h^jX \cong h^jX \otimes h^iX$ para $ij$ impar .

Parece que en los textos acerca de los motivos, que el objetivo final era siempre para lograr un Tannakian categoría. Pero, ¿qué motivación hay para esto? ¿Por qué una categoría que tiene que ver con los motivos sea la categoría de representaciones de un grupo afín esquema? Esto parece una locura para mí. Es este immitative de algunas más fácil, más bien entendida, la teoría en la que tiene sentido relacionar cohomology con representaciones?

También, se conjeturó lo que este misterioso afín esquema de grupo es, en el caso de numérico de motivos con el ajuste por escrito arriba?

Answer 1

En realidad, la categoría de motivos no es equivalente a la categoría de representaciones de un grupo afín esquema excepto en característica cero, y hay incluso la equivalencia depende de la elección de una fibra functor.

El functor de motivos se supone que es un universal cohomology de la teoría. Sin duda, uno quisiera que el destino de un cohomology teoría al menos tannakian.

Si usted asume la conjetura de Hodge, a continuación, el grupo afín esquema adjunto a la categoría de abelian motivos sobre $\mathbb{C}$ (la generada por abelian variedades) es más o menos conocido --- por lo menos en su algebraica de coeficientes están clasificados.

Si usted asume la Tate conjetura, entonces el afín groupoid adjunta a la categoría de los motivos que más de una expresión algebraica cierre de $\mathbb{F}_p$ es más o menos conocido.

En el caso general no se sabe nada, excepto que el grupo es MUY GRANDE --- por ejemplo, más de $\mathbb{C}$ tiene una cantidad no numerable de distintos coeficientes de isomorfo a PGL(2).

Answer 2

Mi impresión es que el lenguaje de Tannakian categorías es una cosa agradable para sí mismo; por tanto, aplicar a motivos puede (y lo hará, ver más abajo) el rendimiento de las aplicaciones interesantes. Hay varias maneras de tratar con Tannakian categorías, y no estoy seguro de que tratar con el explícito afín grupo de los esquemas que aparecen de esta manera es la "principal" uno (ya que este esquema de grupo es muy enorme y complicado por motivos varios, y usted tiene que "hacer de la categoría neutral" para asegurar su existencia). También, Tannakian categorías de dar una posibilidad de tratar con la categoría de los motivos "en abstracto".

Probablemente los mejores resultados en la relación de los motivos para Tannakian formalismo en el caso de que la base es de campo, ya sea finito o (al menos) algebraicas sobre un campo finito; los puedes encontrar en Milne http://www.jmilne.org/math/articles/1994aP.pdf. En primer lugar, la categoría de numéricos de los motivos es conocido por ser Tannakian en este caso; véase la Proposición 1.1. Decir más sobre lo que uno necesita cierta "estándar" conjeturas. En particular, la Tate conjetura permite describir la categoría de motivos sobre un campo finito casi completamente en el Corolario 1.16, la Proposición 1.17 (estas dos declaraciones son la mejora en las Proposiciones 3.7 y 3.8), la Proposición 2.6, y la Proposición 2.22. Además, el Teorema 3.13 (cf. también Teorema 3.19) da una descripción completa de los motivos que más de la clausura algebraica $\mathbb{F}$ de un campo finito. Por último, el Teorema 4.22 da un muy divertido functor de los llamados CM-motivos sobre la clausura algebraica de $\mathbb{Q}$ en motivos sobre $\mathbb{F}$; este resultado depende de manera crucial en el lenguaje de Tannakian categorías (ya que no "geométrica" descripción de este functor es dado).