Hasta qué punto es cierto que "la teoría de números = matemáticas"?

Question

En una sugerente respuesta a este MO pregunta, Kevin Buitre y varios comentaristas han descrito una gran variedad de maneras en que la teoría de los números está relacionada con otras partes de las matemáticas. Parece que, en la práctica, a saber la teoría de los números que usted tiene que saber todas las matemáticas.

Pero, ¿qué es "todas las matemáticas"? La descripción habitual es de arriba hacia abajo, es decir, dar un de alto nivel de la teoría, como categoría de la teoría, que incluye casi todo lo que actualmente consideramos importante. Por desgracia, no se sabe si esa teoría, seguirá siendo un buena descripción; categoría teoría sólo ha sido de alrededor de un par de décadas.

Otra forma de describir "todas las matemáticas" es de abajo hacia arriba -- dar un básicos de la rama de las matemáticas que ha existido siempre, y que sigue creciendo y ramificaciones en todos los matemáticos direcciones. Elementales de la teoría de números es muy tentador bottom-up de respuesta, debido a las conexiones con otras partes de matemáticas ya se ha señalado, y porque va a satisfacer a nuestros no-matemático amigos que piensan que los matemáticos son las personas que son buenas con los números.

Así que mis preguntas básicas son:

Es la teoría de los números un buen bottom-up descripción de todas las matemáticas? Y si es así, ¿por qué?

Las respuestas pueden ser cualquier cosa a partir de teorías generales sobre la universalidad de la la teoría de los números a los ejemplos de la aparición inesperada de la teoría de números en otros ramas de las matemáticas. Y si no están convencidos de que la teoría de los números reglas:

Es allí cualquier buen bottom-up descripción de todas las matemáticas (uno que usted puedes explicar a un no-matemático amigo), y si es así, ¿qué?

Answer 1

Para responder en el mismo estilo que la pregunta fue hecha en mi ecuación sería que "las matemáticas = número teoría + geometría". Creo que todos los tallos a partir de estos dos; el hecho de que fue históricamente la apoya mi punto de vista.

En un perspicaz comentario a la pregunta original, Mariano Suárez-Alvarez escribió: "Creo que hay tres formas básicas de las matemáticas: la teoría de números, combinatoria y topología". Nuestras respuestas sería casi el mismo que si nos pueden clasificar de la combinatoria como parte de la teoría de números. Ciertamente no soy lo suficientemente competente como para dar una opinión en cuanto a si sería una feria de clasificación (y tengo la sensación de que esta clasificación podría herir los sentimientos de algunos combinatorialists).

Answer 2

Yo no creo que es verdad, a pesar de mis propios gustos en los temas. Tales formulaciones son fundamentalmente una cuestión de moda.

Hay un eje, se ejecuta a partir de una información muy detallada en uno de los extremos (donde la teoría de los números desde el momento de Gauss, se ha sentado) y teorías generales en el otro. Para algunos perspectiva, había gente alrededor de 1960, que cree que todo lo que se estaba convirtiendo en alguna faceta de álgebra homológica. Si usted lee MO a través de, usted vería a su punto también, pero se equivoca, como un análisis mediante la adopción de un único punto de vista general como definitivo. Ronda de 1900 la teoría de funciones de una sola variable compleja tenía una similar función dominante, y Hilbert casi conscientemente lanzó una "oposición" a que la hegemonía

No hay mucho mal en la vieja división en el análisis, el álgebra y la geometría (cuantitativa, estructural y visual, intuitiva matemáticas). Para explicar matemáticas a los de afuera, va a hacer bien. Que tal vez se deja fuera de la combinatoria, aparentemente, que es un aumento del/la reactivación de la zona vinculados a la computación; pero (y por cierto, estoy interesado en el Gowers-estilo debate sobre esto) sobre la cuestión de los métodos no veo que es distinto.

Sobre la cuestión de la unidad de las matemáticas, de Atiyah-estilo, también me gustaría ver la manera de expresar los enlaces cruzados como objeto de moda. Atiyah cree Felix Klein y su Programa de Erlangen haber sido "prematuro"; uno, aunque puede unificar una gran cantidad de matemáticas en torno a "la Mentira de grupo", como también se ha dicho. Eso no es una panacea, ya sea, por supuesto. Siempre va a haber una tensión entre lo que se puede razonablemente ser visto como la tecnología de la materia, y lo que uno está tratando de hacer con ella. Si alguien dice que las áreas técnicas puede ser justificado por el avance de los resultados en la teoría de los números, yo no voy a discutirle demasiado duro, pero en realidad el pluralismo es más una actitud saludable.

Answer 3

Esto es un poco oblicua respuesta. Mi recuerdo es que he leído un obituario para Brauer. No recuerdo los detalles, excepto que puede haber sido escrito por Alperin. De todos modos el obituario dijo Brauer al mismo tiempo era un especialista y generalista. Él era un especialista en el sentido de que él sólo estaba interesado en el sistema modular de la teoría de representaciones de grupos finitos. Él era un generalista, en la que él estaba dispuesto a aprender cualquier área de las matemáticas que son pertinentes a esta área y, en consecuencia, él había aprendido una amplia gama de matemáticas.

Answer 4

Supongo que el título está destinado a ser provocativa: ¿alguien puede creer realmente que la teoría de los números es todo de matemáticas? "La teoría de números es todo de las matemáticas" es igualmente falsa, como "Categoría de la teoría es de las matemáticas". Quiero decir, es el continuum de la mecánica parte de la teoría de los números? O, para el caso, es la geometría algebraica? Yo realmente no lo creo.

Por supuesto, "la teoría de los números está conectado con un montón de diferentes campos", como "Categoría de la teoría está conectado con un montón de diferentes campos", son la declaración de que son correctos y muy interesante. Y hay ideas que son influyentes a través de un gran número de áreas de las matemáticas; estoy convencido de que la razón por la que no perciben las matemáticas ya que es una de las limitaciones de nuestro cerebro. Pero esto es muy distinto de afirmar que hay un solo campo que de alguna manera está en el centro de la matemática.