¿El hypergraph de los subgrupos de determinar un grupo?

Question

Un hypergraph es un par $H=(V,E)$ donde $V\neq \emptyset$ es un conjunto y $E\subseteq{\cal P}(V)$ es una colección de subconjuntos de $V$. Decimos que dos hypergraphs $H_i=(V_i, E_i)$ para $i=1,2$ son isomorfos si existe un bijection $f:V_1\to V_2$ tal que $f(e_1) \in E_2$ para todos los $e_1\in E_1$, e $f^{-1}(e_2) \in E_1$ para todos los $e_2\in E_2$.

Si $G$ es un grupo, denotan por $\text{Sub}(G)$ la colección de los subgrupos de $G$.

Hay no isomorfos grupos $G,H$ tal que el hypergraphs $(G, \text{Sub}(G))$ e $(H, \text{Sub}(H))$ son isomorfos?

Answer 1

En los comentarios a la pregunta, me doy cuenta de algo que podría ser un error, o al menos es una respuesta incompleta. Se ha señalado en los comentarios de que no existen nonisomorphic grupos con isomorfo subgrupo de celosías. Si bien es cierto, que el hecho de no responder a esta pregunta, ya que es posible tener subgrupo isomorfo celosías y nonisomorphic subgrupo hypergraphs. Incluso si asumimos que los grupos tienen el mismo orden y subgrupo isomorfo celosías, que no inmediatamente después de que se han subgrupo isomorfo hypergraphs. Lo que se necesita es un subgrupo de la preservación y la reflexión bijection entre los grupos.

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Estoy seguro de que la respuesta negativa a esta pregunta se puede encontrar en Roland Schmidt del libro. Pero me gustaría señalar a un teorema yo coautor después de Schmidt se publicó el libro, que se aplica a esta pregunta. A saber:

Thm. Para cualquier finito $N$, hay un conjunto finito $X=X_N$ e $N$ operaciones binarias $\circ_i$ definido en $X$ tales que

(1) $G_i = (X,\circ_i)$ es un grupo para todos los $i$,
(2) $G_i\not\cong G_j$ cuando $i\neq j$, y
(3) para todos los $i, j$, los grupos de $G_i^{\kappa}$ e $G_j^{\kappa}$ tienen exactamente los mismos subgrupos (como juegos) para todos los cardenales $\kappa$.

El último elemento significa que, para cualquier fija $\kappa$, el subgrupo hypergraphs de $G_i^{\kappa}$ e $G_j^{\kappa}$ son iguales para cualquier $i$ e $j$.

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El papel es

Keith A. Kearnes y Agnes Szendrei,
Grupos con idéntica subgrupo de celosías en todos los poderes.
J. Teoría de Grupo 7 (2004), no. 3, 385--402.

Answer 2

Para grandes prime $p$, hay una cantidad no numerable de no isomorfos Tarski monstruos de exponente $p$.

Para estos grupos $G$, los subgrupos de celosía consiste básicamente en una partición de $G\smallsetminus\{1\}$ en countably muchos subconjuntos de cardinal $p-1$ (para los subgrupos son el conjunto, $\{1\}$ y la unión de $\{1\}$ con cualquier componente de la partición. Estos hypergraphs son obviouly isomorfo.

Answer 3

Como @Keith Kearnes dice, la respuesta negativa debe estar en algún lugar en Roland Schmidt del libro. A menos que me equivoco, es suficiente para encontrar a dos personas que no son isomorfos grupos con isomorfo coset celosías. De hecho, los elementos de $G$ corresponden directamente con los cosets de el subgrupo trivial. Mediante la aplicación de los regulares de la acción en grupo, usted puede tomar cualquier elemento (o 1-coset) a ser el elemento de identidad. Los subgrupos son los cosets que contiene la identidad. Por lo tanto se puede determinar a partir de la coset de celosía de los conjuntos de elementos en cada subgrupo (como en la pregunta).

No isomorfos grupos con isomorfo coset celosías existen, como se discute en el Capítulo 9.4 de Schmidt. Algo que me gusta de esta discusión es que es relativamente fácil encontrar ejemplos concretos.

Yo creo que los grupos con identidades [625, 9] y [625, 10] en la BRECHA de pequeños grupos de la biblioteca son ejemplos explícitos con isomorfo coset celosías, por tanto, con isomorfo subgrupo hypergraphs. Estos grupos se pueden encontrar siguiendo las ideas de Ejemplo 9.4.14(b) en Schmidt del libro. No he revisado todos los detalles en la BRECHA, pero estos dos grupos, al menos, tienen el mismo StructureDescription de (C25 x C5) : C5, y el mismo número de subgrupos en cada nivel.

Schmidt construcciones de estos grupos por la toma de ciertos semidirect productos $H \rtimes \mathbb{Z}_p$, donde $H$ es el nonabelian grupo de orden $p^3$ y el exponente $p$. La construcción no parece funcionar para $p=3$, y de hecho el resultado de Huppert que Schmidt de la cites en el ejemplo que se sostiene sólo por $p>3$.