Hay una categoría (en la categoría de la teoría del sentido) de la no-bien-fundado conjuntos (algo análogo a Conjunto, de la categoría de conjuntos), y ha sido (bien)estudió? Todas las referencias son apreciados.
Respuestas
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Sí, los hay. Ver Peter Aczel 1988 notas en los modelos de no-bien-fundado la teoría de conjuntos, aquí. La idea básica es que usted puede modelar conjuntos como los gráficos (es decir, como una colección de elementos de los conjuntos, junto con una relación binaria de forma intuitiva lo que sugiere la membresía), y la fundación axioma corresponde exactamente a la afirmación de que la membresía de la relación está bien fundada. Lo que permite no bien fundada conjuntos corresponde a permitir arbitraria de las relaciones.
Estos gráficos son perfectamente normal objetos matemáticos, y así podemos reunirlas en una categoría exactamente de la manera que lo hacemos con "normal", establece. El nLab tiene algunas notas sobre esto en su página de pura conjuntos, y también en su página de material de la teoría de conjuntos.
Leon Bambrick
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A partir de cualquier modelo de una membresía basada en la teoría de conjuntos, sea fundada o infundada, puede crear una categoría de conjuntos y funciones. Las propiedades básicas de esta categoría (por ejemplo, es un bien-señaló topos) no dependen de si el modelo que inició desde fue bien o mal fundada. De hecho, en la presencia de el axioma de elección, cada mal fundada conjunto está todavía bien disponible, por lo tanto bijective a fundados conjunto (una de von Neumman ordinal), por lo que la categoría de los conjuntos obtenidos a partir de un modelo de la infundada teoría de conjuntos + opción es equivalente a la subcategoría que se obtengan de su submodel de bien fundada conjuntos.
Puede, entonces, preguntar si se puede reconstruir un modelo de pertenencia basado en la teoría de conjuntos de la categoría de conjuntos; aquí es donde los gráficos (para el modelo hereditario de pertenencia de las relaciones), como en nlab:pura conjunto. Usted puede elegir usar bien fundada gráficos o infundada. Si el que usted elija coincide con el tipo de conjunto de la teoría desde la que comenzó, entonces (siempre que su teoría es lo suficientemente fuerte lo contrario) usted podrá reconstruir el mismo modelo. Si usted elige bien fundada gráficos a partir de una infundada la teoría de conjuntos, entonces usted va a reconstruir el submodel de bien fundada conjuntos, la reproducción de la prueba de consistencia relativa del axioma de fundación. Y si usted elige mal fundada gráficos a partir de una bien fundada la teoría de conjuntos, podrás reproducir Aczel original de la prueba de la consistencia relativa de la anti-fundación axioma.
isomorphismes
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De acuerdo a esta tesis doctoral http://www.andrew.cmu.edu/~awodey/estudiantes/hughes.pdf por Jesse Hughes (supervisado por Steve Awodey), cogebras = coalgebras son la categoría adecuada para el estudio de la no-fundado conjuntos.
