Sumas de números primos que son propios de primer

Question

Yo no soy un experto en matemáticas por lo que esta puede ser una pregunta trivial; si $p_i$ es el $i$-ésimo primo, vamos a:

$$S(n) = \sum_{i=1}^n p_i$$

ser la suma de la primera $n$ primos y

$$P(n) = | \{1 \leq i \leq n \mid S(i) \mbox{ is prime} \} | $$

ser el número de las sumas $S(i), 1 \leq i\ \leq n$ que son los principales. Tenemos

$$\lim_{n \to \infty} \frac{P(n)}{n} = 0\;?$$

Donde puedo encontrar una prueba?

EDIT: me generó la secuencia de $P(n)$ y que se encuentra en OEIS: Números de n tal que n es primo y es igual a la suma de los primeros k de los números primos para algunos k., pero no hay una gran cantidad de información que hay.

Answer 1

Me pregunto si para preguntas de este tipo, los siguientes probabilístico paradigma es útil:

En lugar de agregar todos los números primos, nos deja "una moneda" e incluir el siguiente número primo con una probabilidad fija $0<q<1.$

En otras palabras, ¿qué podemos decir acerca de la distribución de los números primos en la secuencia de sumas

$$S_{\xi}(n)=\sum_{i=1}^n \xi_i p_i,$$

donde $p_i$ es el $i$th el primer y el $\{\xi_i\}$ es una secuencia de yo.yo.d. Las variables aleatorias de Bernoulli? El asintótica debe ser un.s. con respecto a la de Bernoulli medida.