Prefiero trabajar en la homología (con coeficientes de $\mathbb{Q}$ todas partes). Voy a decir que una clase $x\in H_k(X)$ es básicamente toral si hay un mapa de $f\colon T^k\to X$ el envío de la clase fundamental de $T^k$ a $x$. Voy a decir que $x$ es toral si es una combinación lineal de, básicamente, toral de clases, y voy a escribir $T_*(X)$ para el grupo de toral de clases. Esto es claramente un subfunctor de $H_*(X)$, e $T^*(X)$ es el complemento de la aniquilador de $T_*(X)$. Voy a decir que $X$ es toral si $T_*(X)=H_*(X)$. Es fácil ver que $T^n$ es toral y, por tanto, $T_*(X)$ es la suma de las imágenes de $f_*(H_*(T^n))$ de todos los mapas $f\colon T^n\to X$. Esto deja claro que el $T_*(X)$ es un subcoalgebra de $H_*(X)$, y también que $T_*(X\times Y)$ contiene $T_*(X)\otimes T_*(Y)$. De esto se sigue que la clase de toral de los espacios es cerrado bajo de los productos. También es fácilmente visible a ser cerrada bajo uniones disjuntas. También, si $f\colon X\to Y$ e $X$ es toral y $f_*\colon H_*(X)\to H_*(Y)$ es surjective, a continuación, $Y$ es toral. Mediante esto podemos ver que la clase de toral de los espacios es cerrado bajo las cuñas y aplastar a los productos.
Tenga en cuenta también que si $G$ está conectado a un grupo Mentira y $T$ es un toro maximal en un máximo compacto subgrupo de $G$, entonces la inclusión $i\colon T\to G$ da un surjection racional de homología de grupos. De ello se sigue que todos conectados Mentira grupos toral, y la conectividad de restricción se elimina fácilmente.
Siguiente, hay un $H_*$-epimorphism $T^n\to S^n$, por lo que las esferas son toral, de modo que los productos de las esferas son toral.
Ahora vamos a $X$ ser conectado a un toral de espacio. Utilizando el James de la construcción, vemos que hay una familia de mapas de $X^k\to\Omega\Sigma X$ conjuntamente surjective en la homología, por lo $\Omega\Sigma X$ es de nuevo toral. Hay un mapa estándar $\Omega\Sigma S^2\to\mathbb{C}P^\infty$ que da un isomorfismo en racional de homología, de modo que el espacio $\mathbb{C}P^\infty=BU(1)$ es toral. De ello se deduce que para cualquier $n$ el espacio $BT^n=BU(1)^n$ es toral. Considerando la máxima tori de nuevo, vemos que $BG$ es toral para cualquier connnected Mentira grupo $G$. En particular, el infinito Grassmannian $BU(n)=\text{Grass}_n(\mathbb{C}^\infty)$ es toral.
Ahora supongamos que $X$ es toral y que $Y$ es un homológica $d$-esqueleto de la $X$, lo que significa que $Y$ es $d$-esqueleto con respecto a algunas de las CW estructura y que el mapa de $i_*\colon H_*(Y)\to H_*(X)$ es inyectiva. Si $y\in H_k(Y)$ luego wlog $k\leq d$ y podemos expresar $i_*(y)$ como una combinación lineal de términos llevado por los mapas de $f_j\colon T^k\to X$. Todos estos mapas $f_j$ puede ser deformada para que aterrizan en $Y$, y el uso de esto, vemos que la $y$ es toral. Como $y$ era arbitraria, podemos deducir que $Y$ es toral. En particular, podemos tomar $X=\mathbb{C}P^\infty$ a ver que el espacio $\mathbb{C}P^m=\text{Grass}_1(\mathbb{C}^{m+1})=U(m+1)/(U(1)\times U(m))$ es toral. Me imagino que todos los espacios homogéneos $G/H$ (con $G$ un compacto de Lie del grupo y $H$ un subgrupo cerrado) son toral, pero no me vea de inmediato una prueba. Esto incluiría el finito Grassmannians $G_k(\mathbb{C}^m)$ por ejemplo. Tóricas de variedades sería otro interesante caso de prueba.
Ahora vamos a $X$ ser conectado a un bucle infinito espacio, por lo $X\simeq\Omega^\infty T$ para algunos $0$-conectado espectro de $T$. Por norma argumentos en estable homotopy, podemos elegir una cuña de esferas $W$ y un mapa de la $f\colon W\to T$ que da un isomorfismo $\pi_*(W)\otimes\mathbb{Q}\to\pi_*(T)\otimes\mathbb{Q}$, o, equivalentemente, un isomorfismo $H_*(W)\to H_*(T)$. Esto le da un mapa del espacio de $Y=\Omega^\infty W$ a $X$ que es surjective racional de homología. Ahora $Y$ es filtrada colimit finito de productos de los espacios de la forma $QS^{2n+1}$ o $QS^{2n+2}$. Hay $H_*$-epimorphisms $S^{2n+1}\to QS^{2n+1}$ e $\Omega\Sigma S^{2n+2}\to QS^{2n+2}$, y el uso de estos vemos que $Y$ es toral, y por lo tanto que $X$ es toral. De nuevo, la conectividad de restricción se elimina fácilmente.
Para un ejemplo interesante en la dirección opuesta, me gustaría considerar el espacio de configuración $F_n\mathbb{C}$ de $n$-tuplas de distintos puntos en $\mathbb{C}$. Hay un conocido cálculo de la cohomology: se ha generadores $a_{pq}\in H^1$ para $1\leq p,q\leq n$ sujeto a $a_{pp}=0$ e $a_{pq}=a_{qp}$ e $a_{pq}^2=0$ e $a_{pq}a_{qr}+a_{qr}a_{rp}+a_{rp}a_{pq}=0$. El espacio también puede ser descrito como $B\Gamma_n$, donde $\Gamma_n$ es la trenza de grupo en $n$ cadenas, por lo $[T^k,F_n\mathbb{C}]=\text{Hom}(\mathbb{Z}^k,\Gamma_n)/\text{conjugacy}$. A partir de esto probablemente puede trabajar $T_*(F_n\mathbb{C})$ y a demostrar que esto no es igual a $H_*(F_n\mathbb{C})$ cuando $n>2$, pero no estoy seguro de los detalles. Otros grupos discretos, tales como la asignación de los grupos de la clase, automorfismos de libre grupos y $GL_n(\mathbb{Z})$ también puede ser interesante de casos de prueba. La pregunta menciona compacto orientado a las superficies, que también puede ser visto como la clasificación de los espacios de los grupos discretos.
A lo largo de la misma línea, se describen $T^n\vee T^n$ como $B(\mathbb{Z}^n*\mathbb{Z}^n)$ (donde $*$ denota producto libre de grupos). Como el producto libre es altamente no-conmutativa, no hay tantos homomorphisms $\mathbb{Z}^m\to\mathbb{Z}^n*\mathbb{Z}^n$. Con esto, creo que podemos demostrar que la suma de las dos clases superiores en $H_n(T^n\vee T^n)$ es, básicamente, no toral, por lo que no conseguimos una buena teoría de la restricción para el básicamente toral caso.
