Dos trenes se acercan, un pájaro se mueve entre ellos. ¿Cuántos viajes puede hacer el pájaro?

Question

El planteamiento del problema:

Dos trenes se acercan el uno al otro a una velocidad de $34\ km/h$ en el mismo camino rectilíneo. Un determinado pájaro puede volar a una velocidad de $58\ km/h$ y empieza a volar de la parte delantera de uno de los trenes al otro, cuando están $102\ km$ aparte. Cuando el pájaro llega a la parte delantera del otro tren, empieza a volar de vuelta al primer tren, y así sucesivamente.

• ¿Cuántos de estos viajes puede hacer el pájaro antes de que los dos trenes se encuentren?
• ¿Cuál es la distancia total que recorre el pájaro?

Comentario:

La segunda cuestión del problema parece relativamente sencilla, ya que sólo hay que tener en cuenta que los trenes tardarán 1,5 horas en reunirse, por lo tanto, el pájaro viaja $58\cdot1.5=87 km$ . Sin embargo, la primera pregunta me desconcierta. ¿Cómo se puede calcular cuántos viajes hace el pájaro? Si estoy en lo cierto, para obtener el tiempo que el pájaro tardará en hacer su primer viaje, hay que sumar la velocidad del pájaro y la velocidad a la que se reduce la distancia de los trenes ( $68\ km/h$ ).

Esto significa que el pájaro tomará $\frac{102}{126}\approx0.809$ horas para terminar el primer viaje, y los trenes serán $\frac{986}{21}\approx 46.95\ km$ aparte. Si continúo así (ahora averiguando cuánto tardará el pájaro en recorrer esos 46,95 km), parece que no pararé nunca o que al menos tardará una cantidad enorme de viajes que no se pueden calcular a mano. ¿Hay alguna manera de encontrar una respuesta "rápida" a este problema? ¿Lo estoy complicando más de lo que realmente es?

Gracias de antemano.

Answer 1

El pájaro hará infinitos viajes, que se hacen cada vez más pequeños en distancia.

De hecho, debido a esto, esta pregunta se hace a menudo como una especie de pregunta "trampa". Es decir, como has hecho en la segunda parte de tu post, la gente que trata de responder a la segunda pregunta suele intentar calcular cuánto tiempo dura el primer viaje, qué distancia ha volado el pájaro durante ese primer viaje y a qué distancia están todavía los trenes en ese punto. Luego, tratarán de calcular lo mismo para el segundo viaje, el tercero, etc. .... pero, por supuesto, nunca se acaba con esto... y los números se eligen intencionadamente para que sean "feos" también (como lo son en este caso). Así, mucha gente se echa las manos a la cabeza cuando se le pregunta por la distancia total recorrida por el pájaro, porque intenta calcular la suma de todas estas distancias, y el cálculo se les hace demasiado desagradable.

Ahora bien, por supuesto que se puede utilizar una serie infinita para hacer esto... ¡o se hace lo que se hizo! Primero calcula cuánto tiempo tardan los trenes en llegar el uno al otro, y eso te dice cuánto tiempo está volando el pájaro de un lado a otro, y eso te dirá inmediatamente la respuesta a la pregunta de la distancia total.

Así que, bien por ti por no haberte tropezado con esto... pero quizá sea precisamente porque no te has dado cuenta de que el pájaro haría infinitos viajes... :)

Answer 2

La primera parte seguramente no tiene respuesta. El número de viajes sería infinito si sustituimos el pájaro por una masa puntual capaz de una aceleración infinita, pero para un pájaro real necesitamos saber algo sobre el pájaro y lo que puede hacer.

Hay una bonita historia que dice que la segunda parte se planteó a John von Neumann, quien dio la respuesta numérica correcta tras una breve reflexión. "Ah", dijo el autor de la pregunta, "debería haber sabido que no podría engañarle. La mayoría de la gente tarda mucho tiempo en intentar sumar las series infinitas". Von Neumann dijo "¿Qué? ¿Hay otra manera?"

Answer 3

La respuesta rápida a este conocido enigma es el número infinito de viajes, que se muestra explícitamente a continuación.

Dejemos que $v_b$ y $v_t$ sean las velocidades del pájaro y del tren, respectivamente. Para la distancia inicial $d_0$ entre el tren, se necesita el tiempo del pájaro $t_1$ dado por $ (v_b+v_t)t_1 = d_0$ para alcanzar el otro tren. Entonces, la nueva distancia entre los trenes pasa a ser,

$$d_1= d_0-2v_tt_1=d_0\frac{v_b-v_t}{v_b+v_t}$$

Igualmente,

$$d_2 =d_1\frac{v_b-v_t}{v_b+v_t}=d_0\left(\frac{v_b-v_t}{v_b+v_t}\right)^{2}$$

$$ ... $$

$$d_{n} =d_0\left(\frac{v_b-v_t}{v_b+v_t}\right)^{n}$$

Como puede verse en la expresión anterior, la distancia $d_{n}$ puede ser arbitrariamente pequeño, pero nunca será cero, lo que indica que requiere un número infinito de viajes.

Del mismo modo, las distancias recorridas por el ave en cada viaje pueden expresarse como

$$D_1 =\frac{v_b}{v_b+v_t}d_0$$ $$D_2 =\frac{v_b}{v_b+v_t}d_1$$

$$...$$

$$D_n =\frac{v_b}{v_b+v_t} d_{n-1}$$

La distancia total es una suma geométrica convergente, que da como resultado,

$$D = \frac{v_b}{v_b+v_t}(d_0+d_1+d_2+\>...)=v_b\frac{d_0}{2v_t}=\frac{58}{68}\times 102 = 87km$$

El resultado para $D$ tiene una interpretación sencilla: la distancia es simplemente el tiempo que tardan los dos trenes en encontrarse multiplicado por la velocidad del pájaro.

Answer 4

En el marco de referencia estacionario del tren en el que no arranca el pájaro, están a 102 km de distancia y el tren lejano se mueve a 68 km/h. El pájaro vuela a 92 km/h.

Alcanza el tren "estacionario" en $\frac{102}{92} h$ Después de que el tren lejano se haya movido $68 * \frac{102}{92} km$ .

Si los trenes empezaron con X de diferencia, entonces alcanza el tren "estacionario" en $\frac{X}{92} h$ y los trenes son ahora $X-\frac{68X}{92} km = (1-\frac{68}{92}) X km$ aparte.

Esto se aplica recursivamente, por lo que después de $K$ vuelos, los trenes son $102 * (1-\frac{68}{92})^K km$ aparte. Para ningún número de vuelos $K$ llega a 0, por lo que el pájaro debe volar un número infinito de veces para que los trenes choquen, suponiendo un pájaro infinitamente pequeño.

Para comprobar la cordura, ahora tomaremos esta solución y veremos si podemos obtener la distancia de vuelo adecuada a partir de ella.

En el vuelo K, el pájaro ha volado la distancia entre los coches después de vuelo $K$ , tiempos $\frac{58}{58+34}$ para tener en cuenta el desplazamiento de fotogramas. Así que el pájaro vuela la suma, desde $1$ à $\infty$ de $\frac{58}{92} * 102 * (1-68/92)^K$ km.

Utilizando la identidad $1+x+x^2+x^3+... = \frac{1}{1-x}$ esto es $102 km * \frac{1}{1 - (1-\frac{68}{92})} * \frac{58}{92}$ , alias $102km * \frac{92}{68} * \frac{58}{92}$ o $87 km$ .

Answer 5

Sólo la primera pregunta: Cada vez que el pájaro alcanza la parte delantera del otro tren, su distancia se ha reducido en un factor 24/92 (la distancia entre el pájaro y el tren que se aproxima se reduce a un ritmo de 92 km/h, la distancia entre los trenes se reduce a un ritmo de 68 km/h).

Después de 7 viajes, el pájaro alcanza la parte delantera del otro tren cuando los trenes están a unos 8,4 metros de distancia. Chocan en 0,44 segundos. Es imposible que el pájaro pueda parar, dar la vuelta y volver a alcanzar una velocidad de 58 km/h en 0,44 segundos, así que el séptimo viaje es el último.