Para contestar la Pregunta 1: Sí, sí existen integralmente cerrado número del resumen de los anillos con infinita del grupo de clase.
Por factorización de ideales, para $R$ a ser un resumen número de anillo es suficiente de que es un dominio de Dedekind con finito de residuos de campo $R/\mathfrak{p}$ en cada uno de los prime $\mathfrak{p}$. Teorema B del documento mencionado por Hagen Knaf en su respuesta , en realidad da lo que pides (R. C. HEITMANN, PID ESPECIFICADO RESIDUO CAMPOS, Duque de Matemáticas. J. Volumen 41, Número 3 (1974), 565-582).
Teorema B: sea G ser una contables abelian de torsión del grupo. Entonces hay una contables dominio de Dedekind de característica 0 cuya clase grupo G, y cuyo residuo campos son las de los números enteros (es decir, una copia de $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ para cada uno de los prime $p$).
Como tal anillos finitos residuo de campos, esto le da un integralmente cerrado abstracto de número de la anilla con el grupo de clase de cualquier contables de torsión grupo que te gusta.
Podemos hacer mucho mejor que esto, sin embargo. Después de pensar acerca de su pregunta para un poco, veo cómo podemos construir la siguiente, de modo que todos contables abelian grupos ocurrir a medida que el grupo de clase de esos anillos.
Sea G ser una contables abelian grupo. Entonces, no es un dominio de Dedekind $R$ con un límite de residuos de campos, que $\mathbb{Z}[X]\subseteq R\subseteq\mathbb{Q}(X)$ e ${\rm Cl}(R)\cong G$.
Veo un poco de sorpresa se menciona en los comentarios de abajo que es suficiente con mirar a través de los anillos de $\mathbb{Z}[X]$ encontrar dominios de Dedekind con cualquier contables del grupo de clase. De hecho, si los anillos de $\mathbb{Z}[X]$ son de carácter muy general en los términos del primer ideal de la factorización, y puede mostrar los siguientes. Voy a usar las ${\rm Id}(R)$ para el grupo de ideales fraccionarios de $R$ e $R_{\mathfrak{p}}$ para la localización en un primer $\mathfrak{p}$, con $\bar R_{\mathfrak{p}}$ que representa a su finalización (que es una compacta discreta valoración de anillo (DVR) en este caso).
Deje $R$ ser una característica cero de dominio de Dedekind con finito de residuos de campos. Entonces, no es un dominio de Dedekind $R^\prime$ con $\mathbb{Z}[X]\subseteq R^\prime\subseteq\mathbb{Q}(X)$ y un bijection $\pi\colon {\rm Id}(R)\to{\rm Id}(R^\prime)$ satisfactorio
- $\pi(\mathfrak{ab})=\pi(\mathfrak{a})\pi(\mathfrak{b})$.
- $\pi(\mathfrak{a})$ es primo si y sólo si $\mathfrak{a}$ es.
- $\pi(\mathfrak{a})$ es principal si y sólo si $\mathfrak{a}$ es.
- Si $\mathfrak{p}\subseteq R$ es un valor distinto de cero prime, a continuación,$\bar R_{\mathfrak{p}}\cong\bar R^\prime_{\pi(\mathfrak{p})}$.
En particular, la clase de los grupos son isomorfos, ${\rm Cl}(R)\cong{\rm Cl}(R^\prime)$.
La idea es que podemos construir dominios de Dedekind en un campo de $k$ por la primera elección de un conjunto de $\{v_i\colon i\in I\}$ discreto de las valoraciones en $k$ y, dejando $k_v=\{x\in k\colon v(x)\ge0\}$ denotar la valoración de los anillos, podemos tomar $R=\bigcap_ik_{v_i}$. En algunas razonablemente condiciones suaves, este será un dominio de Dedekind con las valoraciones $v_i$ correspondiente precisamente a la $\mathfrak{p}$-ádico valoraciones, para el primer ideales $\mathfrak{p}$ de % de$R$. De esta manera, podemos ser muy flexibles en cuanto a la construcción de dominios de Dedekind con especificada primer ideales (y, con un poco de trabajo, especificado principales ideas y grupo de clase). La construcción de discretos valoraciones $v$ a $k=\mathbb{Q}(X)$ es particularmente fácil. Dado un compact DVR $R$ de característica 0 y el campo de fracciones de $E$, cada extensión de $\theta\colon k\to E$ nos da una valoración $v(f)=u(f(X))$ donde $u$ es la valoración en $E$. Para construir una incrustación de sólo requiere la elección de $x\in E$ que no es algebraico sobre $\mathbb{Q}$ y, si queremos que la localización de la $k_v$ tener finalización isomorfo a $R$, entonces sólo tenemos $\mathbb{Q}(x)$ a ser denso en $E$. Hay un montón de libertad para elegir a $x\in R$ como esta. De hecho, hay una cantidad no numerable de $x$, ya que forman una co-escasa subconjunto de $R$. Por lo tanto, tenemos muchas valoraciones en $\mathbb{Q}(X)$ correspondiente a cualquier compact DVR. De esta manera, tenemos una gran cantidad de flexibilidad en la construcción de dominios de Dedekind en anillos de $\mathbb{Z}[X]$.
He escrito a cabo las pruebas de estas afirmaciones. Como es demasiado largo para caber aquí, voy a enlazar a mi escrito: la Construcción de dominios de Dedekind con lo prescrito primer factorizations y los grupos de la clase. Esperemos que no hay errores importantes. También voy a mencionar que esta es una versión actualizada y esperemos vez más clara de escritura de mi enlace inicial (que eran muy ásperas notas saltando a lo largo de muchos pasos).
Creo también que mi vinculado prueba puede ser modificada para mostrar que, simultáneamente, puede elegir cualquier prescrito grupo de la unidad de la forma $\{\pm1\}\times U$ donde $U$ es una contables libre abelian grupo.
