Advertencia: yo no sé nada acerca de este tema, pero se encontró con la pregunta interesante, así que decidí aprender algo acerca de ella. Acercarse a la siguiente con precaución.
Considerar el anillo de enteros $\mathbb{Z}[\tfrac{1+\sqrt{-15}}{2}] \subset \mathbb{Q}[\sqrt{-15}]$. Esto tiene la clase número 2, y el ideal
$$I:=(2, \tfrac{1+\sqrt{-15}}{2})$$
genera el ideal del grupo de clase: en otras palabras, este es un proyectiva módulo de rango 1, y no es libre.
Escrito $\zeta = \tfrac{1+\sqrt{-15}}{2}$ hemos
$$\mathbb{Z}[\tfrac{1+\sqrt{-15}}{2}] = \mathbb{Z}[\zeta]/(\zeta^2-\zeta+4),$$
y por lo que su 2-ádico de finalización es
$$(\mathbb{Z}[\tfrac{1+\sqrt{-15}}{2}])^\hat{}_2 = \mathbb{Z}^\hat{}_2[\zeta]/(\zeta^2-\zeta+4).$$
El uso de [http://www.numbertheory.org/php/2adic.html] nos encontramos con que $-15$ tiene un 2-ádico de la raíz cuadrada $\eta$ a partir de $(1,0,0,1,1,0,1,1,0,0,...)$. Por lo tanto $1+\eta = (0,1,0,1,1,0,1,1,0,0,...)$ es divisible por 2, y nos pusimos $\bar{\eta} = \tfrac{1+\eta}{2}=(1,0,1,1,0,1,1,0,0,...)$. Por lo tanto, tenemos
$$\zeta^2-\zeta+4 = (\zeta - \bar{\eta})(\zeta -\tfrac{4}{\bar{\eta}}) \in \mathbb{Z}^\hat{}_2[{\zeta}],$$
y así
$$\mathbb{Z}^\hat{}_2[\zeta]/(\zeta^2-\zeta+4) = \mathbb{Z}^\hat{}_2[\zeta]/((\zeta - \bar{\eta})(\zeta -\tfrac{4}{\bar{\eta}})) \cong \mathbb{Z}^\hat{}_2[\zeta]/(\zeta - \bar{\eta}) \times \mathbb{Z}^\hat{}_2[\zeta]/(\zeta -\tfrac{4}{\bar{\eta}})$$
que es isomorfo a $\mathbb{Z}^\hat{}_2 \times \mathbb{Z}^\hat{}_2$ como un anillo. Como $K_0(\mathbb{Z}^\hat{}_2 \times \mathbb{Z}^\hat{}_2) = K_0(\mathbb{Z}^\hat{}_2) \oplus K_0(\mathbb{Z}^\hat{}_2) = \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}$ es de torsiones, la conclusión es que
$$K_0(\mathbb{Z}[\tfrac{1+\sqrt{-15}}{2}]) \to K_0((\mathbb{Z}[\tfrac{1+\sqrt{-15}}{2}])^\hat{}_2)$$
no puede ser inyectiva: de hecho, su núcleo es, precisamente,$\mathbb{Z}/2$.
La importancia de este para la cuestión es que, como yo lo entiendo, 2-ádico $TC$ es insensible a 2-ádico de la finalización del anillo (al menos para los anillos que son finitely generado como abelian grupos), que es,
$$TC(\mathbb{Z}[\tfrac{1+\sqrt{-15}}{2}])^\hat{}_2 \to TC((\mathbb{Z}[\tfrac{1+\sqrt{-15}}{2}])^\hat{}_2)^\hat{}_2$$
es una equivalencia. De ello se deduce a partir de la evidente conmutativa de la plaza que
$$K_0(\mathbb{Z}[\tfrac{1+\sqrt{-15}}{2}])^\hat{}_2 \to TC_0(\mathbb{Z}[\tfrac{1+\sqrt{-15}}{2}])^\hat{}_2$$
no es inyectiva.
