La importancia de la fase en la mecánica cuántica

Question

En la introducción a la mecánica cuántica siempre he escuchado el mantra

La fase de una función de onda no tiene significado físico. Así que los estados $| \psi \rangle$ y $\lambda|\psi \rangle$ con $|\lambda| = 1$ son físicamente equivalentes e indiscernibles.

De hecho por esta motivación se dice que el espacio de estados de un sistema físico no debe ser un espacio de Hilbert, sino un espacio de Hilbert proyectivo, donde se identifican vectores que sólo difieren hasta una constante multiplicativa de magnitud 1.

Pero también he oído que una de las "características" definitorias de la mecánica cuántica es el principio de superposición: podemos combinar estados $| \psi_1 \rangle, |\psi_2 \rangle$ a un nuevo estado $| \psi_1 \rangle + | \psi_2 \rangle$ . Esto debería explicar, por ejemplo, la interferencia constructiva/destructiva que vemos en la doble rendija.

Pero si dos estados con la misma fase son físicamente equivalentes, también deberían serlo los estados $| \psi \rangle, -|\psi \rangle$ . Pero su suma es cero. He visto experimentos que explotan esto y miden la relativa diferencia de fase entre dos estados diferentes. Pero si la diferencia de fase relativa es medible, entonces seguramente la fase de una función de onda tiene un significado físico. Esto debería significar que podemos identificar las fases de todos los estados de un sistema cuántico hasta un $U(1)$ transformación al calibrar algún estado para que tenga fase $1$ . ¿Es esto correcto? ¿Cómo se puede solidificar esto con el mantra anterior?

He hecho una segunda pregunta aquí ("El principio de superposición en la mecánica cuántica") sobre el principio de superposición que está estrechamente relacionado con esta cuestión.

Answer 1

Cuando la gente dice que la fase no importa, se refiere a la en general , fase "global". En otras palabras, el estado $|0 \rangle$ equivale a $e^{i \theta} |0 \rangle$ el estado $|1\rangle$ equivale a $e^{i \theta'} |1 \rangle$ y el estado $|0\rangle + |1 \rangle$ equivale a $e^{i \theta''} (|0 \rangle + |1 \rangle)$ .

Obsérvese que la "equivalencia" no se conserva bajo la adición, ya que $e^{i \theta} |0 \rangle + e^{i \theta'} |1 \rangle$ no es equivalente a $|0 \rangle + |1 \rangle$ porque puede haber una fase relativa $e^{i (\theta - \theta')}$ . Si quisiéramos describir este hecho tan simple con palabras innecesariamente grandes, podríamos decir algo así como "el espacio de Hilbert proyectivo complejo de los rayos, el conjunto de clases de equivalencia de los vectores no nulos en el espacio de Hilbert bajo multiplicación por fase compleja, no puede ser dotado de la estructura de un espacio vectorial".

Como la equivalencia no se lleva bien con la suma, es mejor ignorar la ambigüedad de la fase global cuando se hacen cálculos reales. Finalmente, cuando hayas terminado con todo el cálculo, y llegues a un estado, eres libre de multiplicar ese resultado final por una fase global.

Answer 2

El global la fase no importa. En su ejemplo $\lambda(\vert\psi_1\rangle+\vert\psi_2\rangle)$ tiene el mismo contenido físico que $\vert\psi_1\rangle+\vert\psi_2\rangle$ pero esto será en general diferente de $\vert\psi_1\rangle-\vert\psi_2\rangle$ o más generalmente $\lambda’(\vert\psi_1\rangle+e^{i\varphi}\vert\psi_1\rangle).$

... y por supuesto sí se puede medir la fase relativa, como se indica por ejemplo en esta respuesta y sin duda muchos otros. De hecho, la interferometría depende de estas fases relativas.

Answer 3

Mientras que las otras respuestas son correctas, esta no es una respuesta diferente, sino una ilustración de que el relativa La fase es realmente importante en la mecánica cuántica. Sabemos que los bosones (partículas con espín entero) tienen la siguiente propiedad: una rotación por $2\pi$ (alrededor de cualquier eje fijo) deja sus estados invariantes, $R(2\pi)|{\rm boson}\rangle = |{\rm boson}\rangle$ . Obviamente, esto está bien, ya que una rotación por $2\pi$ debe ser una operación de simetría. Los fermiones (partículas con espín entero y medio) tienen la propiedad de que una rotación por $2\pi$ cambia su signo: $R(2\pi)|{\rm fermion}\rangle = -|{\rm fermion}\rangle$ . Esto también está bien, ya que $-|{\rm fermion}\rangle$ pertenece al mismo rayo que $|{\rm fermion}\rangle$ y, por tanto, describe el mismo estado.

Sin embargo, si queremos hacer una superposición lineal de la forma $|\Psi\rangle = \alpha|{\rm boson}\rangle+\beta|{\rm fermion}\rangle$ con $\alpha\neq\beta$ ? Se ve claramente que la operación de rotación por $2\pi$ en $|\Psi\rangle$ no dará un estado proporcional a $|\Psi\rangle$ y por lo tanto no es una simetría de ese estado. ¿Qué ha fallado?

La respuesta es que, sencillamente, no deberíamos hacer esa superposición. Aunque está bien definida matemáticamente, es unphysical : no describe un estado que pueda ser preparado físicamente . Por lo tanto, tenemos prohibido hacer una superposición (física) de un bosón y un fermión. Este es un ejemplo de una poderosa clase de afirmaciones conocidas como reglas de superselección .

Answer 4

Pero también he oído que una de las "características" que definen a los mecánica cuántica es el principio de superposición: podemos combinar estados |1,|2 a un nuevo estado |1+|2

...

Pero si dos estados con la misma fase son físicamente equivalentes, entonces deberían ser los estados |,|.

Esto me parece bastante confuso. $|\psi_n\rangle$ no es un estado, es un estado vector . Comprender esta diferencia es, creo, crucial para desentrañar su pregunta.

Es decir, es el estado vectores que se superponen, no los estados (que no forman un espacio vectorial).

ACTUALIZACIÓN: para abordar este comentario (ya que los comentarios son etéreos)

Esto debería ser un comentario, pero la discusión sobre la terminología no es una respuesta a la pregunta. la pregunta. El "objeto" físico que pretendemos modelar es un estado, y lo hacemos que asignándole un vector en algún espacio vectorial. Entonces se podría llamar a este objeto vector de estado, pero llamarlo estado sin sin diferenciar entre el objeto y el modelo funciona bien en la mayoría de los contexto (haciendo cálculos teóricos, sobre los que todo esto es sobre)

Weinberg es muy cuidadoso al hacer la distinción entre el estado (rayo) y los vectores de estado en el rayo cuando formula la Mecánica Cuántica en la sección 2.1 de "La teoría cuántica de los campos". He aquí algunos extractos:

(i) Los estados físicos se representan mediante rayos en el espacio de Hilbert.

...

A rayo es un conjunto de vectores normalizados (es decir, $(\Psi,\Psi)=1$ ) con $\Psi$ y $\Psi'$ pertenecientes al mismo rayo si $\Psi'=\xi\Psi$ , donde $\xi$ es un número complejo arbitrario con $|\xi|=1$ .

...

(iii) Si un sistema se encuentra en un estado representado por un rayo $\mathscr{R}$ , y se hace un experimento para comprobar si está en alguno de los diferentes estados representados por rayos mutuamente ortogonales $\mathscr{R}_1,\,\mathscr{R}_2,\dots$ (por ejemplo, midiendo una o más observables) entonces la probabilidad de encontrarlo en el estado representado por $\mathscr{R}_n$ es

$$P(\mathscr{R}\rightarrow\mathscr{R}_n)=|(\Psi,\Psi_n)|^2$$

donde $\Psi$ y $\Psi_n$ son todos los vectores que pertenecen a los rayos $\mathscr{R}$ y $\mathscr{R}_n$ respectivamente. (Se dice que un par de rayos se dice que es ortogonal si los vectores de estado de los dos rayos tienen productos escalares desvanecidos).

En su pregunta, me parece que está mezclando los conceptos de estado y vector de estado juntos y la confusión resultante es, creo, la raíz de su pregunta.

Según leo la sección que he citado de tu pregunta anterior, parece que dices que como $|\psi\rangle$ y $-|\psi\rangle$ son físicamente equivalentes estados , es no debería ser que su suma es cero (para luego concluir que la fase debe ser física).

Pero eso no se deduce si se distingue cuidadosamente entre el estado (rayo) y los vectores. Formamos combinaciones lineales de vectores, no de estados.

Answer 5

Un buen ejemplo de comportamiento físico debido a la fase cambiar es el Efecto Aharonov-Bohm . Un campo magnético que no ejerce ninguna fuerza clásica sobre un electrón afecta, sin embargo, a la interferencia del electrón a través de la influencia del potencial vectorial sobre la fase de la función de onda del electrón.