¿Por qué al demostrar las identidades trigonométricas hay que trabajar ambos lados de forma independiente?

Question

Supongamos que tienes que demostrar la identidad trigonométrica:

$$\frac{\sin\theta - \sin^3\theta}{\cos^2\theta}=\sin\theta$$

Siempre me han dicho que debo manipular los lados izquierdo y derecho de la ecuación por separado, hasta transformar cada uno en algo idéntico. Así que lo haría:

$$\frac{\sin\theta - \sin^3\theta}{\cos^2\theta}$$ $$=\frac{\sin\theta(1 - \sin^2\theta)}{\cos^2\theta}$$ $$=\frac{\sin\theta(\cos^2\theta)}{\cos^2\theta}$$ $$=\sin\theta$$

Y entonces, como el lado izquierdo es igual al lado derecho, he demostrado la identidad. Mi problema es: ¿por qué no puedo manipular toda la ecuación? En esta situación probablemente no facilite las cosas, pero para ciertas identidades, puedo ver formas de "demostrar" la identidad manipulando toda la ecuación, pero no puedo demostrarla manteniendo ambos lados aislados.

Entiendo, por supuesto, que no puedo simplemente asumir que la identidad es verdadera. Si asumo una afirmación falsa y luego deduzco de ella una afirmación verdadera, todavía no he demostrado la afirmación original. Sin embargo, ¿Por qué no puedo hacer esto?

$$\frac{\sin\theta - \sin^3\theta}{\cos^2\theta}\not=\sin\theta$$ $$\sin\theta - \sin^3\theta\not=(\sin\theta)(\cos^2\theta)$$ $$\sin\theta(1 - \sin^2\theta)\not=(\sin\theta)(\cos^2\theta)$$ $$(\sin\theta)(\cos^2\theta)\not=(\sin\theta)(\cos^2\theta)$$

Dado que la última afirmación es obviamente falsa, ¿no es esto una prueba por contradicción de que la primera afirmación es falsa, y por tanto la identidad es verdadera?

O, ¿por qué no puedo tomar la ecuación de la identidad, manipularla, llegar a $(\sin\theta)(\cos^2\theta)=(\sin\theta)(\cos^2\theta)$ y luego trabajar hacia atrás para llegar a la identidad trigonométrica. Ahora bien, empiezo con una afirmación que es obviamente cierta, y deduzco otra afirmación (la identidad) que también debe ser cierta, ¿no es así?

Otro argumento que he escuchado para mantener los dos lados aislados es que la manipulación de una ecuación permite hacer cosas que no siempre son válidas en todos los casos. Pero lo mismo ocurre cuando se manipula sólo un lado de la ecuación. En mi primera prueba, el paso

$$\frac{\sin\theta(\cos^2\theta)}{\cos^2\theta}$$ $$=\sin\theta$$

no es válido cuando theta es $\pi/2$ , por ejemplo, porque entonces constituye una división por cero.

Answer 1

¿Por qué no puedo manipular toda la ecuación?

Sí se puede. El método analítico para demostrar una identidad consiste en comenzar con la identidad que se quiere demostrar, en este caso $$ \begin{equation} \frac{\sin \theta -\sin ^{3}\theta }{\cos ^{2}\theta }=\sin \theta,\qquad \cos \theta \neq 0 \tag{1} \end{equation} $$ y establecer una secuencia de identidades de manera que cada una sea consecuencia de la siguiente. Para la identidad $(1)$ para que sea cierto basta con que sea cierto $$ \begin{equation} \sin \theta -\sin ^{3}\theta =\sin \theta \cos ^{2}\theta \tag{2} \end{equation} $$ o este otro equivalente $$ \begin{equation} \sin \theta \left( 1-\sin ^{2}\theta \right) =\sin \theta \cos ^{2}\theta \tag{3} \end{equation} $$ o finalmente este último $$ \begin{equation} \sin \theta \cos ^{2}\theta =\sin \theta \cos ^{2}\theta \tag{4} \end{equation} $$

Desde $(4)$ es cierto también lo es $(1)$ .

El libro indicado a continuación ilustra este método con la siguiente identidad $$ \frac{1+\sin a}{\cos a}=\frac{\cos a}{1-\sin a}\qquad a\neq (2k+1)\frac{\pi }{2} $$

Basta con que se cumpla lo siguiente $$ (1+\sin a)(1-\sin a)=\cos a\cos a $$

o $$ 1-\sin ^{2}a=\cos ^{2}a, $$

que es verdadera si $$ 1=\cos ^{2}a+\sin ^{2}a $$

es cierto. Como se ha demostrado que esto es cierto, todas las identidades anteriores se mantienen, y también la primera identidad.

Referencia: J. Calado, Compuesto de Trigonometría , Empresa Literária Fluminense, Lisboa, pp. 90-91, 1967.

Answer 2

Tienes un buen manejo de la situación. No es tanto que no puede manipular la identidad potencial como una ecuación así, en general, la mayoría de la gente no debería manipular la identidad potencial como una ecuación. La parte clave es lo que has dicho: utiliza la manipulación para llegar a una afirmación verdadera (ese es tu trabajo de raspado), entonces trabajar hacia atrás para escribir tu prueba: empezar con una afirmación verdadera y llegar a la identidad.

En su último ejemplo, ya que $\cos\theta$ está en el denominador, $\theta=\frac{\pi}{2}$ no estaría en el dominio de la identidad, por lo que está bien simplificar a $\sin\theta$ .

Answer 3

Demuestra la identidad trigonométrica "LHS = RHS" Dada: LHS Objetivo: RHS (o viceversa) La razón por la que no es válido trabajar en ambos lados al mismo tiempo (multiplicación cruzada, etc.) es que no se da "LHS = RHS", por lo que no hay ecuación hasta después de haber demostrado la identidad trigonométrica. ¿Es válido utilizar la ecuación "LHS = RHS" para demostrar la identidad trigonométrica "LHS = RHS"? Steve

Answer 4

Estoy completamente de acuerdo con Noah Stein. Sólo quiero aclarar/añadir lo siguiente:

Supongamos que la identidad que se intenta mostrar es $L(\theta)=R(\theta)$ y es indefinido en $\theta\in\left\{k\pi\,:\,k\in\Bbb Z\right\}$ porque hay $\sin(\theta)$ en el denominador de $L(\theta)$ o $R(\theta)$ o ambos. Entonces puedes manipularlo como una ecuación multiplicando ambos lados por $\sin(\theta)$ . Supongamos que después de varias otras manipulaciones/transformaciones que no requirieron ninguna otra multiplicación por una variable, se llegó a $\cos(\theta)=\cos(\theta)$ . Entonces se demuestra la identidad para todo $\theta\ne k\pi$ que es el mayor conjunto posible en el que $L(\theta)$ y $R(\theta)$ están definidos. De ahí que hayas demostrado que es una identidad.

Answer 5

Según la definición "la identidad es una relación que es verdadera para todos los valores de x", así que cuando manipulamos la identidad trigonométrica al igual que las ecuaciones trigonométricas tratamos de encontrar los ángulos y terminamos una relación verdadera como 0=0 independiente del ángulo significa que la relación es una identidad.