Categoría de la teoría y de la teoría de conjuntos: sólo un idioma diferente, o diferente de la fundación de las matemáticas?

Question

Esta es una pregunta para matemáticos de investigación, así como para aquellos interesados en la historia y la filosofía de las matemáticas.

Estoy pidiendo una referencia. Con el fin de hacer la petición con la mayor precisión posible, yo estoy describiendo los antecedentes y naturaleza de mis preguntas aquí:

Hice mi Tel. D. en probabilidad y estadística en 1994, y mi formales de la enseñanza de las matemáticas estaba completamente basado en la teoría de conjuntos. Recientemente, me interesé en la topología algebraica, y han comenzado a leer los textos introductorios como Allen Hatcher, o Laures & Szymik, y otros.

Me llama la atención por el amplio uso de la categoría de la teoría y comenzó a preguntarse:

(1) Es la categoría de la teoría del nuevo lenguaje de las matemáticas, o más recientemente, el idioma preferido?

(2) Reconocer que la teoría de conjuntos puede ser articulado o fundado a través de la categoría de la teoría (el texto de Rosebrugh y Lawvere), es la categoría de la teoría de ahora visto como el fundamento de las matemáticas?

(3) Es la elección entre la categoría de la teoría del lenguaje y la teoría de conjuntos idioma tal vez dependiendo del campo de las matemáticas, es decir, algunos de los campos tienden a preferir la teoría de conjuntos, otros de la categoría de teoría?

Edit: En (3), si tal preferencia en realidad existe, ¿cuál es la razón de fondo para que?

Podría alguien ser capaz de darme una buena referencia para preguntas como esta? Yo estaría muy agradecido por eso.

Answer 1

Creo que Penélope Maddy del artículo ¿Qué Queremos una Fundación? es un buen punto de partida si quieres leer algo de literatura. No estoy de acuerdo con todos los de Maddy conclusiones, pero la terminología que se presenta en este artículo es de gran utilidad, así como la muy simple, pero a menudo pasado por alto el punto de que el concepto de una "fundación de las matemáticas" es un multifacético uno.

Los defensores de los cimientos de la teoría de conjuntos suelen hacer hincapié en lo que Maddy llama "la guía esencial." El argumento es que la categoría de la teoría (o lo que sea) refleja de forma más precisa los matemáticos que realmente piensa o cómo se hacen realidad las matemáticas, o qué estructuras matemáticas que realmente son. Puede que tengan razón (aunque la teoría de conjuntos tiene más recursos en esta dirección que la de sus oponentes, a veces, reconoce), pero estas alternativas fundaciones no siempre superar a la teoría de conjuntos cuando se trata de otras funciones que se desee una base para llevar a cabo. Por ejemplo, hay "evaluación del riesgo"—¿qué axiomas ¿usted realmente necesita derivar teoremas, y son esos axiomas "seguro"? O "generoso arena"—tal vez la alternativa propuesta fundaciones son buenas para homotopy teoría, pero no son tan adecuados para la solución numérica de ecuaciones en derivadas parciales o el cálculo de los pequeños números de Ramsey.

La teoría de conjuntos hizo un trabajo notable en los siglos 19 y 20 de la unificación de las matemáticas, poniendo todo en un fundamento común, y proporcionar un marco para el análisis de las preguntas de consistencia y provability. Hoy en día es fácil tomar ese logro por sentado, y asumir que todas las matemáticas es "segura" y que si queremos usar los métodos de una rama de las matemáticas en el otro, entonces siempre vamos a ser capaces de encontrar la manera de hacerlo. Si uno toma esa actitud, a continuación, "evaluación del riesgo" se convierte en irrelevante y "generoso arena" y "compartido estándar" caída en importancia—solo puedo preocuparse por encontrar bases para el tipo de matemáticas que me importa, y si mis fundamentos son engorrosos para mi colega de la clase de matemáticas, bueno, ese es mi colega del problema y no el mío. Por otro lado, si uno todavía se preocupan por la generosa arena y compartido estándar de evaluación de riesgos y, a continuación, establezca la teoría todavía tiene muchas ventajas.

En resumen, si el uso de la teoría de conjuntos o de una categoría de la teoría como de la fundación depende en gran medida de lo que quieres hacer. Estoy de acuerdo con Harry Gindi que es mejor pensar en ellos como jugar un papel complementario. En particular, para muchos de los "tradicionales" de los roles que la gente espera de una base (por ejemplo, "meta-matemática corral" es otro de los Maddy plazo), no creo que la teoría de conjuntos ha sido sustituida.

Answer 2

Categoría de la teoría y de la teoría de conjuntos son complementarios el uno al otro, no en la competencia. Creo que este 'debate' es un poco de académicos controversialising en lugar de una diferencia real. Si has hecho un poco de categoría teoría, usted se dará cuenta de lo importante que es la categoría de conjuntos (por Yoneda del lema, de representatividad, de la existencia de generadores, etc).

Incluso si usted completamente comprar en homotopy tipo de teoría como de la fundación para ∞-categorías y homotopy teoría, la teoría de los conjuntos vuelve a aparecer en otro atuendo como la teoría de 0-tipos. Una teoría de los conjuntos es muy natural, una idea para escapar.

Quiero que a la nota: Si usted escribe el sintáctica versión de ETCS, se termina con algo que es más o menos equivalente al de ZFC. El ETCC, por otro lado, es ampliamente considerado como un callejón sin salida.

Desde el nLab:

Como ha señalado J. Isbell, en 1967, uno de Lawvere resultados (es decir, el teorema de la construcción de categorías de la descripción' en la p.14) estaba equivocado, que dejó la axiomatics colgando con energía insuficiente para la construcción de modelos para las categorías. Varias formas para superar estos problemas en los que se sugiere en la siguiente, pero ningún sistema logra unívoca de aprobación (cf. Blanc-Preller(1975), Blanc-Donnadieu(1976), Donnadieu(1975), McLarty(1991)).

Como ETCC también carecían de la simplicidad de ETCS, rara vez juega un papel en la práctica de la categoría de teoría en el siguiente y pronto fue eclipsado por el topos de la teoría en la atención de la comunidad científica que generalmente preferido para cubrir sus cimientos con apelaciones a Gödel-Bernays set-teoría o Grothendieck universos.

Edit: Solo para aclarar, yo creo que la mayoría de los matemáticos que trabajan en la categoría de teoría, homotopy teoría, la geometría algebraica, etc. son más o menos agnóstico acerca de las fundaciones, siempre que sean equivalentes en la fuerza de ZFC (o más fuerte con los universos). Ha habido argumentos para ETCS(+Lo que sea) como un "mejor" de la fundación, pero cuando te metes en peludo conjunto teórico cuestiones (por ejemplo, véase el Apéndice de la conferencia 2 de Scholze apuntes condensada matemáticas), somos tan propensos a trabajar con ZFC debido a la configuración de los números ordinales en ETCS es una molestia. He añadido esta edición solo para aclarar que no soy partidario de acercarse y apreciar tanto (y no, no estoy interesado en traer a colación esta vieja polémica acerca de Tom papel que he ligado!!!)

Answer 3

La mejor referencia que puedo pensar de esto es MathOverflow.

Contrariamente a algunas de las observaciones hechas anteriormente, cuestiones fundamentales son hoy en día a menudo una preocupación en matemáticas y ciencias de la computación. Contraste fundamental de los esquemas es una actividad que no se limita sólo a los investigadores en metamathematics o en la lógica matemática. Se produce en ciencias de la computación repetidamente como de los trabajadores que allí se desarrollan nuevos lenguajes de programación, disciplinas y herramientas para el análisis. Mecánico a prueba de comprobación, verificación del programa, elaboración de prototipos, los idiomas, la relación con la utilización de los recursos, el rápido desarrollo del sistema, y otras actividades en beneficio de las perspectivas ofrecidas por un sistema u otro, o por la comparación entre ellas.

Las personas que frecuentan este foro a menudo quieren entender las cosas más profundamente, busque las conexiones o fenómenos que pueden revelar la omnipresente patrón, o el sentido de comunalidad, de modo que lo que funciona para una prueba de idea en un campo puede ser adaptada a otros campos. Sin embargo, las personas son criadas en diferentes ambientes, por lo que sus perspectivas y medios de expresión varían. Es esta variedad que es uno de los menos apreciados aspectos de MathOverflow: la exposición a una gran cantidad de maneras de pensar.

Aunque sus preguntas han sido considerados como antes, que son lo suficientemente amplia como para que yo imaginar a las personas que sólo han sido capaces de ver las piezas de la imagen, y que la imagen es todavía bastante nuevo, que la recolección de datos está todavía en curso. Si usted busca MathOverflow (y la Nlab, y tal vez repositorios como ArXiv, o actas de conferencias pertinentes en ciencias de la computación, así como las matemáticas), usted encontrará muchas de estas piezas. Para los usuarios cuyo conocimiento es más amplio que el mío, tres nombres de pop inmediatamente a la mente: Bauer, Blass, Jerabek. (Después de tomar un café, más que los nombres de ocurrir a mí.) Mirando algunas de sus respuestas en este foro puede llevar a referencias específicas.

En otra parte de este foro he visto una consulta similar en intención a la suya. Me contestó que en realidad las teorías deben ser considerados más como las perspectivas de como fundamentales marcos, debido a que la totalidad de las matemáticas no es capturado por uno solo. Estas perspectivas (o herramientas) tiene utilidad en su varianza y la posible interacción, no sólo en su capacidad para expresar la parte de las matemáticas. Pero estoy seguro de que esta forma de mirar buscando ayuda en su búsqueda.

Gerhard "Hablando Como Observador, No Investigador" Paseman, 2020.05.16.

Answer 4

(1) Es la categoría de la teoría del nuevo lenguaje de las matemáticas, o más recientemente, el idioma preferido?

Categoría de la teoría que se ha propuesto en la década de 1940 y comenzó a tomar más de la geometría algebraica y la topología de la primera en la década de 1970, y su aplicación ha hecho más que crecer desde allí.

Si es el idioma preferido depende del campo de las matemáticas que está pensando.

Generalmente, los campos con una expresión algebraica sabor prefieren categoría de teoría. Los ejemplos incluyen la geometría algebraica, topología algebraica, la categoría de teoría (duh), algebraicas teoría de conjuntos, la teoría cuántica de campos topológica (nueva rama de la física), tipo de teoría.

Los campos con un análisis/cálculo sabor prefieren la teoría de conjuntos. Los ejemplos incluyen básicas de cálculo, ecuaciones diferenciales, geometría diferencial, análisis funcional, la probabilidad, la teoría de conjuntos (duh).

Por último, los campos con un geométricas sabor parecen ir a través de una tercera vía, basada en la intuición geométrica y "auto-evidente postulados". Los ejemplos incluyen la topología geométrica (especialmente cuando se baja-dimensional), nudo de la teoría, la física general (yo lo considero como la más importante rama de las matemáticas), y algunos de los nuevos campos que se han "sintético" en sus nombres, como sintético de la geometría diferencial.

(2) Reconocer que la teoría de conjuntos puede ser articulado o fundado a través de la categoría de la teoría (el texto de Rosebrugh y Lawvere), es la categoría de la teoría de ahora visto como el fundamento de las matemáticas?

En General los matemáticos no se preocupan mucho acerca de la fundación. En la actualidad hay una sensación de que nada de lo que ha sido trabajado por largo tiempo, es el sonido. La matemática es ahora visto como un gran gráfico de matemáticas-pepitas de oro, que se conectan entre sí, flotando en un vacío sin pepitas considerado como "el verdadero fundamento".

Sin embargo, esto no significa que todas las matemáticas-nuggets son igualmente importantes, o de fundación digno. En general, la importancia se mide por estas características:

1. Cómo densamente una pepita está conectado a otros pepitas;
2. Cómo "profunda" de las conexiones;
3. Cómo la moda es (sintético de la geometría no es la moda ahora, pero estaba muy de moda hace 2000 años);
4. Qué tan cerca de la realidad física es (esto hace básicos de cálculo más importantes de la teoría de los números primos).

Para una buena discusión de lo que hace una pepita "significativo", leer Hardy a Un Matemático de la Disculpa, comenzando en la sección 11.

Como para la fundación de la dignidad, Maddy del ¿Qué Queremos una Fundación? es un gran lugar para aprender acerca de los detalles. Creo que, en breve, unos nuggets están mejor adaptados para la fundación si cumplen los siguientes criterios:

1. Puede codificar las cosas que los matemáticos quieren trabajar. Esto es análogo a un lenguaje de programación que se "Turing completo". Una fundación debe ser "matemático completo" o de acercarse a él.
2. Puede codificar de forma elegante. Esto es menos objetiva, pero también muy importante. En el algebraicas con sabor campos, categoría de la teoría de la gana sobre la teoría de conjuntos en este aspecto.
3. Se puede comprobar de forma mecánica, es decir, es bueno para la verificación formal. Esto aún no es una consideración muy importante, pero es algo univalentes fundaciones y otro tipo-la teoría de las fundaciones son explícitamente tratando de hacer bien. Para más, este Quanta ensayo es buena para empezar. Por otra, generada por computadora prueba de que nadie entiende

(3) Es la elección entre la categoría de la teoría del lenguaje y la teoría de conjuntos idioma tal vez sólo dependiendo del campo de las matemáticas, es decir, algunos de los campos tienden a preferir la teoría de conjuntos, otros de la categoría de teoría?

Lo que he dicho.