Relación entre la cohomology de un grupo y la cohomology de sus asociados Mentira álgebra

Question

Deje $G$ ser un grupo y vamos a $k$ ser un campo (característica 0 si se desea). Deje $L$ ser el gran Mentira anillo asociado a la parte inferior central de la serie de $G$, es decir, $L$, como graduado abelian grupo es $\oplus_{i \geq 1} G_{i}/G_{i+1}$ donde $G_1 = G$, $G_i = (G_{i-1}, G)$, y la Mentira de soporte es inducida por el colector $(a,b)$ a $G$. Tensor $L$ con $_{\mathbb Z}k$ para obtener una Mentira álgebra $\hat L$ sobre $k$.

Hay alguna relación entre la cohomology álgebra de $G$, $H^{*}(G, k)$, y el cohomology de la (clasificado) Mentira álgebra $\hat L$, $H^{*}(\hat L, k)$?

Me doy cuenta de que no estoy siendo preciso acerca de lo que la categoría de estos cohomologies se calcula en, como en gradual versus enseñanza. Yo estoy esperando que alguien me puede decir que existe una relación o que no hay ninguna conexión. Tal vez no son las condiciones en las $G$ que asegurarse de que estas cohomology álgebras son isomorfos? Las referencias?

Answer 1

Sí, hay una conexión. El cohomology de la Mentira álgebra está conectado a la cohomology del grupo a través de una secuencia espectral.

Voy a suponer $k$ es un campo de caracteres $p \geq 0$. Entonces es un resultado de Lazard (Sur les groupes nilpotents et les anneaux de Mentira, Ann. Sci. Ecole Norma. Sup. (3), 1954, 71, 101-190) que su Mentira álgebra L es $p$-restringido Mentira álgebra sobre el campo $\mathbb{F}_p$ donde $\mathbb{F}_p=\mathbb{Z}$ si $p=0$. Si $p=0$,, a continuación, $L$ es una Mentira anillo sobre los enteros.

Ahora vamos a $I$ ser el aumento ideal del anillo de grupo $kG$. Podemos filtrar el anillo de grupo por los poderes de la $I$, y obtener los asociados gradual anillo de $\text{gr } kG = \bigoplus_{n=0}^\infty I^n/I^{n+1}$. El asociado gradual anillo hereda de $kG$ la estructura de un álgebra de Hopf. Es un resultado de Quillen (En la asociada gradual anillo de un anillo de grupo, J. Álgebra, 1968, 10, 411-418) que $\text{gr } kG$ es isomorfo como un álgebra de Hopf a $u(L \otimes_{\mathbb{Z}} k)$, la $p$-restringido envolvente álgebra de $L \otimes_{\mathbb{Z}} k$. (Si $p=0$, entonces es sólo la costumbre universal de la envolvente de álgebra, creo.)

Ahora, hay una espectral de la secuencia de conexión de la cohomology de los asociados gradual anillo de $\text{gr } kG$ a la de $kG$: $E_1^{i,j} = H^{i+j}(\text{gr }kG,k)_{(i)} \Rightarrow H^{i+j}(kG,k)$. Para la construcción de este espectro de la secuencia, se puede ver la Sección 3 del documento de la Complejidad de los módulos a través de finito Chevalley grupos clásicos y álgebras de Lie por Lin y Nakano (Inventar. Matemáticas., 1999, 138 (1), 85-101). Ese documento también contiene algunas aplicaciones en el caso especial cuando $G$ es un grupo finito de Mentir tipo de un cierto tipo, o es el $p$-subgrupo de Sylow de tales.

Addendum: Esta última parte es algo de un intento de la dirección de Bugs Bunny comentario. Dado un $kG$-módulo de $M$, podemos formar el asociado gradual módulo de $\text{gr }M = \bigoplus_{n=0}^\infty (I^n.M)/(I^{n+1}.M)$. A continuación, $\text{gr }M$ es graduado $\text{gr }kG$-módulo, de modo que por la restricción de un módulo para $L \otimes_{\mathbb{Z}} k$. A continuación, obtener una secuencia espectral aspecto de $E_1^{i,j} = H^{i+j}(\text{gr }kG,\text{gr }M)_{(i)} \Rightarrow H^{i+j}(kG,M)$.

Answer 2

El continua cohomology de un grupo de $\Gamma$ es el límite $$H^*_{\text{cts}}(\Gamma;\mathbb Q)=\lim_{\longrightarrow}\ H^*(\Gamma/K;\mathbb Q)$$ de la cohomology de todos sus finitely generado nilpotent cocientes. $\Gamma/K$. Las propiedades básicas de continuo cohomology son establecido en el Hain, "Algebraica de los ciclos y las extensiones de las variaciones de la mezcla de Hodge estructura", 175-221 en el Complejo de la geometría y la teoría de la Mentira, Proc. Sympos. Pura Matemática 53.

Es evidente que existe una comparación del mapa $H^*_{\text{cts}}(\Gamma;\mathbb Q)\to H^*(\Gamma;\mathbb Q)$, que es siempre un isomorfismo en $H^0$ e $H^1$, y siempre es inyectiva en $H^2$. Un finitely generado grupo $\Gamma$ se llama pseudo-nilpotentsi este mapa es un isomorfismo en cada grado.

Nomizu del teorema implica que para finitely grupos generados, $H^*_{\text{cts}}(\Gamma;\mathbb Q)$ coincide con la continua cohomology $H^*_{\text{cts}}(\mathfrak{g};\mathbb Q)$ de la Malcev Mentira álgebra $\mathfrak{g}$ de % de$\Gamma$. El Malcev Mentira álgebra es cierto pronilpotent $\mathbb Q$–Mentira álgebra asociada a $\Gamma$ mencionado anteriormente por Tom Goodwillie. Que tiene la propiedad de que sus asociados graduales $\text{gr}(\mathfrak{g})$ es isomorfo a su $\hat{L}=\text{gr}(\Gamma)$, el asociado clasificados del grupo $\Gamma$. Por otra parte, en muchos (posiblemente de todo?) de los casos, existe un isomorfismo $H^*_{\text{cts}}(\mathfrak{g};\mathbb Q)\approx H^*(\hat L;\mathbb Q)$.

Algunos ejemplos de pseudo-nilpotent grupos, es decir, grupos para los que el cohomology del grupo y de sus asociados Mentira álgebra coinciden—son gratuitos grupos fundamentales de los grupos de superficies de Riemann, y puro de la trenza de grupos. (Esta propiedad está estrechamente relacionada con la propiedad de un espacio de $X$ ser racional $K(\pi,1)$, en el sentido de que la localización-a-0/racionalización de $X$ es esférico.) Definitivamente no todos los grupos tienen esta propiedad, sin embargo. Por ejemplo, la razón por la que el puro de la trenza grupo de pseudo-nilpotent es que es el grupo fundamental de la dotación de una particular y agradable hyperplane disposición. Pero sin alguna condición en el acuerdo, Falk se mostró que existen asféricos-hyperplane-complemento-los grupos que no son pseudo-nilpotent.

Recomiendo la lectura de Hain excelente artículo para obtener más información, por desgracia nunca pude encontrar en internet, aunque se puede leer fragmentos de Libros de Google. En el interés de la divulgación completa: gran parte de esta respuesta fue tomado de mi papel de "teoría de la Representación y homológica de la estabilidad", con Benson Farb (arXiv:1008.1368, páginas 61-62).

Answer 3

Los siguientes dos artículos parecen ir, de manera independiente, más o menos en línea con Tom Goodwillie del comentario anterior:

• Yu.V. Kuz min, En la conexión entre el grupo cohomology y álgebras de Lie, Russ. De matemáticas. Surv. 37 (1982), N4, 123-124 http://dx.doi.org/10.1070/RM1982v037n04ABEH003950 .
• P. F. Pickel, Racional cohomology de nilpotent grupos y álgebras de Lie, Comm. Álgebra 6 (1978), N4, 409-419 http://dx.doi.org/10.1080/00927877808822253

Answer 4

Me acaba de pasar a tropezar con esta vieja pregunta. La marcada respuesta se refiere a un documento de 1999 por un espectral de la secuencia que se ha estudiado en un 1994 papel que se ocupa de la pregunta en cuestión:

Annetta Bajer. El Puede espectral secuencia finita $p$-grupo se detiene. J. Álgebra 167 (1994), no. 2, 448-459.

Aquí está el Examen de Matemáticas de ese documento: `Vamos a $k$ ser un campo de característica $p>0$, vamos a $G$ ser finito $p$-grupo, y vamos a $gr kG$ ser el graduado $k$-álgebra asociada a la filtración de $kG$ por los poderes de su aumento a lo ideal. El Puede espectral de la secuencia del título es un espectral cuya secuencia $E_2$es $Ext_{gr kG}(k,k)$ que converge a una filtración de $H^{*}(G,k)=Ext_{kG}(k,k)$. El autor muestra que este espectro de la secuencia tiene sólo un número finito distinto de cero diferenciales, y deduce un resultado similar para una relacionada con el espectral sucesión convergente a una filtración de $H^*(G,M)$ para $M$ un finitely generadas $kG$-módulo."

La referencia publicada por el MSS, en general, se remonta a 1966: El cohomology de restricción de álgebras de Lie y álgebras de Hopf. J. Álgebra (1966), 123--146. ([3] en mi página web).