Transformada de Fourier de la esfera unitaria

Question

La transformada de Fourier de la forma de volumen de la (n-1)-esfera en $\mathbf R^n$ viene dada por la conocida fórmula $$ \int_{S^{n-1}}e^{i\langle\mathbf a,\mathbf u\rangle}d\sigma(\mathbf u) = (2\pi)^{\nu + 1}\|\mathbf a\|^{-\nu}J_\nu(\|\mathbf a\|), \qquad\nu=\frac n2 -1, \tag1 $$ que se encuentra, por ejemplo, en [1, p. 198] o [2, p. 154].

¿Alguien conoce referencias anteriores, y quizás quién publicó por primera vez esta fórmula?

Según Watson [3, p. 9] el caso n=2, $$ \frac1{2\pi}\int_{S^1}e^{ia\cos\theta}d\theta=J_0(a) \tag2 $$ se remonta a Parseval [4], pero me interesa sobre todo el caso n=3, $$ \frac1{4\pi}\int_{S^2}e^{i\langle\mathbf a,\mathbf u\rangle}d\sigma(\mathbf u)=\frac{\sin\|\mathbf a\|}{\|\mathbf a\|}. \tag3 $$

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1. I. M. Gel'fand & G. E. Shilov, Funciones generalizadas, vol. 1 , Academic Press (1964).

2. E. M. Stein y G. Weiss, Introducción al análisis de Fourier en espacios euclidianos , Princeton UP (1971).

3. G. N. Watson, Tratado sobre la teoría de las funciones de Bessel , Cambridge UP (1922)

4. M. A. Parseval, Breve sobre la serie y la integración completa (etc.) (1805)

Answer 1

A riesgo de responder a mi propia pregunta, esto es lo que he encontrado desde entonces:

1. En general $n$ La fórmula (1) parece aparecer por primera vez en la página 177 de S. Bochner, Suma de múltiples series de Fourier por medios esféricos , Trans. AMS 40 (1936) 175-207. Bochner lo expone de nuevo en las páginas 73-74 de Transformadas de Fourier (Princeton UP 1949).

2. Para $n=3$ , Burkhardt ( Series trigonométricas e integrales hasta aproximadamente 1850 , Encykl. Math. Wiss. II A 12 (1916) 819-1354, página 1258 ) afirma encontrar la fórmula (3) en la de Poisson Disertación sobre la integración de algunas ecuaciones en diferencias parciales lineales, y en particular de la ecuación general del movimiento de los fluidos elásticos , Mém. Acad. Roy. Sci. Inst. Francia 3 (1820) 121-176, página 134 en la forma $$ \mathfrak{Sin}\,pt= \frac{pt}{2\pi}\int_0^{2\pi}\int_0^\pi\exp\{t(g\cos u+h\sin u\sin v+k\sin u\cos v)\}\sin u\,du\,dv $$ donde $p=\sqrt{\smash[b]{g^2+h^2+k^2}}$ , $\mathfrak{Sin}$ es una función hiperbólica, y a Burkhardt le falta un factor 2. Sin embargo... No soy capaz de encontrarlo en esa página de Poisson. Por otro lado Poisson lo afirma como "conocido" en una memoria posterior ( 1831, página 558 ). Tal vez alguien tenga más suerte en localizar el original (3) -- ¿en Poisson o en otro lugar?

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Editar: Aha, el problema era simplemente un error tipográfico de Burkhardt. La fórmula (3) aparece efectivamente en la obra de Poisson antes citada Memoria pero en página 174 en lugar de 134, en la forma $$ \int\int e^{at(g\cos u+h\sin u\sin v+k\sin u\cos v)}\sin u\,du\,dv = 2\pi\frac{e^{atp}-e^{-atp}}{atp}. $$

Answer 2

Sonin calculó (según Fichtenholz, pero no se da ninguna referencia) $$\int\limits_{\sum_{k=1}^n x_k^2\leq 1}\exp(\langle a,x\rangle) dx_1...dx_n.$$ Fichtenholz investigó en la integración multivariante, así que sabía todas estas cosas por el folclore, supongo.

Answer 3

La respuesta es:

Weyl, H. 1919, Annalen der Physik, 365, 481

doi: 10.1002/andp.19193652104

Aunque es difícil de encontrar allí si no entiendes el alemán