El Erdős–Gallai teorema da una condición necesaria y suficiente para una secuencia finita de números naturales a ser el grado de la secuencia de un simple gráfico.
En particular, $d_1 \ge d_2 \ge \dots \ge d_n$ es el grado de la secuencia de un gráfico en $n$ vértices si y sólo si
(1) $d_1 + d_2 + \dots d_n$ es aún, y
(2) $$ \sum_{i=1}^k d_i \le k(k-1) + \sum_{i=k+1}^n\min (d_i, k) $$
tiene por $1 \le k \le n$.
Ahora vamos a $\Delta$ ser $k$-dimensiones simplicial complejo en $n$ vértices, con una total $(k-1)$-esqueleto. I. e. $$f_{k-1} (\Delta) = {n \choose k} $$
El grado de una $(k-1)$-dimensiones de la cara de $\Delta$ se define como el número de $k$dimensiones de las caras que lo contienen.
¿Cuáles son los posibles secuencias de grado $$d_1 \ge d_2 \ge \dots \ge d_{n \choose k}?$$
Claramente una condición necesaria es que el $(k+1)$ divide la suma $d_1 + d_2 + \dots$, pero hay algo análogo a la condición (2) anterior, que hace que este en las condiciones necesarias y suficientes?
Es la prueba de Kruskal-Katona teorema de alguna ayuda?
