Un buen subcategoría de la categoría de espacios medibles

Question

Hay una cierta noción de la "agradable" medibles espacios y "agradable" mapas de entre ellos que satisface las siguientes propiedades?

• La línea real equipado con la Lebesgue $\sigma$-álgebra es agradable.
• Cualquier traducción de la $\mathbb R \to \mathbb R$ es agradable. (Idealmente, cualquier mapa continuo $\mathbb R \to \mathbb R$ es agradable, pero ahora yo no soy quisquilloso.)
• Cualquier finito o contable conjunto equipado con el discretos $\sigma$-álgebra es agradable.
• Bonito medibles espacios y agradable mapas de forma elemental topos.

Observaciones:

• Si ese lugar existe, es Booleano, pero no satisface el axioma de elección. Para demostrar esto último: Construir el círculo unitario como un cociente de $\mathbb R$, y luego considerar el cociente de la unidad de círculo por una irracional de rotación. Este cociente mapa no se puede dividir, porque si lo hizo la imagen de su sección sería un conjunto de Vitali.
• Si un topos no existe, cualquier prueba de su inexistencia debe confiar en que el axioma de elección, ya que en el Solovay modelo de la categoría de discretos medibles espacios satisface las condiciones.

Editado para añadir: yo también estaría interesado en la respuesta a la misma pregunta con la Lebesgue $\sigma$-álgebra reemplazado por el Borel $\sigma$-álgebra.

Answer 1

Tome la categoría de medibles locales, equipar con su natural Grothendieck topología, y tomar el topos de las poleas de los conjuntos en el sitio. (Aplicar el estándar de descargos acerca de los universos, coaccessibility, o cosmall poleas para evitar problemas de tamaño.)

El resultado topos de Grothendieck contiene la categoría de medir locales (o, equivalentemente, la categoría de medir los espacios, ver https://mathoverflow.net/a/20820 para una descripción detallada de este último, y https://mathoverflow.net/a/49542 para obtener más información). Por lo tanto, satisface todas sus propiedades, excepto para el parte sobre arbitraria continua de los mapas: la preimagen de una medida 0 establecido en virtud de un mapa continuo R→R no es necesariamente de medida 0, así que usted no puede esperar para obtener este tipo de mapas. Pero usted consigue todo el continuo de mapas cuya preimagen conserva medida 0 conjuntos.