Es todo elemental absoluto de la geometría Euclidiana o hiperbólico?

Question

La geometría absoluta es cualquiera que satisface los axiomas de Hilbert de la geometría del plano, sin el axioma de parallels. Es bien sabido que es la distancia Euclídea o un plano hiperbólico. Para una versión primaria también soltar el (Cantor s) axioma de continuidad, Greenberg llamadas geometrías de Arquímedes H-planos en su encuesta de papel. Todavía podemos definir una métrica en la forma habitual. Repetidamente se divide en dos partes iguales un recogido de unidad de "segmento" y la colocación de sus piezas de cualquier otro da una fracción binaria (posiblemente infinita) que es asignado como la longitud del segmento. La distancia entre dos puntos se define como la longitud del segmento de línea que los conecta, único por incidencia. La incidencia, el orden y la congruencia implica que la perpendicular es más corto que el oblicua, de modo que el triángulo de la desigualdad se mantiene. Sin la continuidad sin embargo Arquímedes H-los aviones no pueden ser métrico completo. Sus terminaciones aún así, siempre se Euclidiana o hiperbólico? En otras palabras, si queremos eliminar el axioma de asegurar la integridad y, a continuación, tomar la finalización, ¿tenemos que terminar con lo que empezó con?

He aquí por qué yo estoy teniendo dudas. Es fácil de comprobar por el límite de los argumentos que la mayoría de los axiomas todavía se mantienen en la finalización, pero no que dos rectas se intersecan en un punto, por ejemplo. Con puntos extra añadido tal vez algunas de las líneas que se cruzan más de una vez. También, hay una expresión algebraica de la clasificación de Arquímedes H-aviones debido a Pejas se describe en el que Greenberg papel (p.760). Uno de ellos, llamado el semi-plano de la elíptica, es bastante peculiar. Satisface los Lambert hipótesis del ángulo agudo (en cualquier cuadrilátero con tres ángulos rectos el cuarto ángulo es agudo), pero cualquiera de las dos líneas que se intersectan en ella tienen un único común perpendicular. En otras palabras, no hay dos líneas son asintóticamente paralelo. Si el semi-plano de la elíptica es isométrico a un subconjunto de un hiperbólico uno, entonces deberíamos ser capaces de obtener mediante la eliminación de algunos puntos de la última. Pero si quitamos todas las líneas asintóticamente paralelo a una cierta línea en el plano hiperbólico, nada quedará otra que la propia línea. Por otro lado, si la terminación es de forma elíptica, como el nombre sugiere, entonces, ¿cómo es la plaza con la hipótesis del ángulo agudo?

Es la métrica de la finalización de Arquímedes H-plane siempre Euclidiana o hiperbólico? Si es así que lo que subplane de un plano hiperbólico es semi-elíptica? Si no, entonces ¿cuál es la finalización de la semi-elípticas avión?

Por desgracia, Pejas originales de las obras no estaban traducidos del alemán. He aquí el pasaje de Greenberg describir el semi-plano de la elíptica.

"Pejas dio el siguiente ejemplo de Arquímedes H-plano en el que el ángulo agudo hipótesis sostiene, pero que no es hiperbólico; es un ejemplo de un semi-elípticas plano, definido por la propiedad de que dos líneas paralelas tienen un único común perpendicular (en un plano hiperbólico, dos asintóticamente líneas paralelas no tienen en común perpendicular, mientras que dos direcciones diferentes líneas paralelas tienen un único uno): Vamos a $K_0$ ser Arquímedes ordenó campo con dos distintos órdenes de $<$ y $<'$ (por ejemplo, $K_0 = \mathbb{Q}(\sqrt{2})$). Vamos $L$, $L'$ la real cierres de $K_0$ con respecto a estos ordenamientos, dentro de un determinado algebraica de cierre. Set $K = L\cap L'$. A continuación, $K$ es Pitágoras, Arquímedes, y contiene un elemento $k$ tal que $k<0$ e $0<'k$. Tomamos $k$ como métrica constante y los puntos de $\mathcal{K}$ a todos los $(x,y)$ en el plano afín sobre $K$ para los que $k(x^2 +y^2)+1>0$. $\mathcal{K}$ es el interior de la "absoluta cónica" $x^2 +y^2=-k^{-1}$, que está vacía, debido a $\sqrt{-k}\notin K$. Desde $\mathcal{K}$ es máxima, que la cónica es el lugar geométrico de todos los puntos idóneos, de manera asintótica de parallels no existen y el plano es de semi-elípticas."

Answer 1

Su respuesta es correcta, excepto que en el ejemplo que usted dio, uno tiene que lindan con mucho más de los números que se describe en el fin de llegar a la que ordenó Pitágoras no-Euclidiana campo K.

Que ejemplo se describe en la página.594 de la cuarta edición de mi libro Euclidiana y No Euclidiana Geometrías: Desarrollo y de la Historia (W. H. Freeman, 2008). De ahí me llamó un plano donde las líneas paralelas tienen un único común perpendicular a un ÉL-plano, abreviar "halb elliptisch" de Pejas de la clasificación del artículo. Puesto que usted está interesado sólo en el caso de Arquímedes con el fin de obtener un natural métrica de una vez a la unidad de segmento elegido, tu-plano satisface la hipótesis del ángulo agudo (por el Saccheri-teorema de Legendre). Usted, a continuación se describe un plano con precisión como el interior de un círculo virtual en el plano afín a más de un orden de Arquímedes de Pitágoras no-Euclidiana campo K. Arquímedes ordenó campo es un subcuerpo de R (hasta el isomorfismo), así que cuando usted métrico completo, obtendrá R.

Para hacer su argumento completamente rigurosa, usted tendría que demostrar que la métrica de la finalización de Arquímedes H-plane es de nuevo un H-plane. Entonces, puesto que es completa, que debe ser el real Euclidiana o la real plano hiperbólico (en el caso de avión es el real hiperbólico). Como he señalado en la p.594 de mi libro y como se indicó, si la línea de círculo axioma se mantiene, entonces Arquímedes H-plano debe ser Euclidiana o hiperbólico, pero su coordenada campo podría ser cualquier Euclidiana subcuerpo de R, tales como el campo de los números construibles o el campo de la real números algebraicos.

Véase también mi de Marzo de 2010 encuesta MENSUAL documento mencionado por Voluntad Jagy titulado "Viejos y Nuevos Resultados en los Fundamentos Elementales del Plano Euclidiana y No Euclidiana Geometría." La sección 2 es todo acerca de la Voluntad Jagy resultados sobre ordinario-polygoning círculos en el plano hiperbólico (no siempre se puede "cuadrado"), y la Sección 3 trata sobre la undecidability y la consistencia de la geometría elemental.

Si usted enviarme un correo electrónico a mjg0@pacbell.net voy a enviar a usted mi más reciente actualización de dicho artículo.

(La terminología de todo esto es confuso. Sí, Janos Bolyai introdujo el término "absoluto de la geometría" de la parte común de la real Euclidiana y real geometrías hiperbólicas. He argumentado - y, en general, ha sido aceptada por otros autores - que "neutro geometría" es un nombre mejor, porque uno sigue siendo neutral sobre la cual postulado paralelo a asumir. Yo también sostuvo que "la geometría absoluta" debe ser el nombre de Bachmann de la geometría basada en los reflejos, ya que incluye no sólo a los neutrales de la geometría, sino también elíptica y otras geometrías - ver pág.588 de mi libro. Además, incluso para el neutro de la geometría, ¿por qué restringir el real geometrías? Un modelo de Hilbert incidencia, intermediación y congruencia de los axiomas que ahora llamamos una Hilbert avión o un H-plane , para abreviar. Pejas clasificado todas las H-planos. Su clasificación se describe en las páginas 588ff de mi libro).

Answer 2

La respuesta es sí. La realización de un semi-elíptica es un plano hiperbólico. El nombre probablemente proviene del hecho de que cada par de líneas en él tiene un punto o una sola perpendicular en común (en el plano de la elíptica que tienen ambos), pero no hay nada elíptica sobre ella métricamente. Semi-elípticas planos son sólo planos hiperbólicos adelgazado tan hábilmente que ningún par de asintótica de parallels sigue siendo. Lo de la paradoja de la eliminación de todos asintótica paralelos a una línea y no tener nada a la izquierda? El problema es que algunas de las líneas que no se eliminan completamente. Todos sus puntos se retiran a excepción de uno. Se necesitan dos puntos para formar una línea en la geometría, de modo que el avión no "ve" las líneas que sólo tienen un punto en ella. Lo inesperado es que la mayoría de (una cantidad no numerable) se eliminan las líneas completamente y aún así el conjunto de los únicos supervivientes es suficiente para apoyar una geometría, de hecho es denso en el plano hiperbólico!

Esto es más fácil explicar el uso de la Klein modelo de un plano hiperbólico como el interior de un círculo $D$ en $\mathbb{R}^2$. Las líneas son de los acordes del círculo, y el asintótica paralelos se cruzan en el límite de $\partial D$. Deje $K$ ser un adecuado subcampo de $\mathbb{R}$ tal que $K^2\cap\partial D=\emptyset$. Cualquiera de las dos líneas en $K^2$ se cortan en un punto con $K$ coordenadas, por lo que cualquier línea en $\mathbb{R}^2$ que se cruza con un $K^2$ línea en un punto en $\partial D$ tiene más de un punto con $K$ coordenadas. Todo lo que hasta ahora funciona incluso con $K=\mathbb{Q}$, el resto en la construcción de $K$ es para asegurarse de que es de Pitágoras ($a,b\in K$ implica $\sqrt{a^2+b^2}\in K$), y que $K^2\cap\partial D=\emptyset$. A continuación, $K^2\cap D$ es un semi-elípticas plano, y cada una de las semi-elípticas plano surge de esta manera. La métrica es a escala de la restricción de la Klein-Beltramy métrica en $D$ (logaritmo de la cruz-ratio), por lo que la conclusión es el plano hiperbólico $D$ sí. Ya que según Pejas de la clasificación de cada Arquímedes H-plane es la Euclídea, hiperbólico o semi-elíptica (Teorema 3 en Greenberg papel) la conclusión es siempre la distancia Euclídea o hiperbólica.

Desde $K$ es sólo de Pitágoras, pero no Euclídea (cada elemento positivo que tiene una raíz cuadrada) hay líneas en $K^2\cap D$ que pasan por el interior de los círculos sin intersección en violación de la llamada línea de círculo axioma. Esto también puede ser visto geométricamente. En cualquier Arquímedes H-plano que satisface la hipótesis del ángulo agudo y la línea de círculo axioma un Bolyai de la construcción produce una línea asintóticamente paralelo a cualquier uno, que no puede suceder en $K^2\cap D$. La "métrica constante" $k\in K$ es la curvatura de Gauss de la realización, y desde $\sqrt{-k}\notin K$ puede no siempre ser normalizada. En otras palabras, no todo en el plano hiperbólico puede rebajar en un semi-elípticas uno, el estándar no pueden ser, entre otros. Pejas el ejemplo de $K$ es obtenido por contigua a $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ las raíces cuadradas de todos los elementos $x=a+b\sqrt{2}$ que son positivos, junto con sus conjugados $\overline{x}=a-b\sqrt{2}$, y tomando una métrica constante $k<0$ con $\overline{k}>0$, por ejemplo,$k=1-\sqrt{2}$. La ecuación de $D$ luego $x^2 +y^2<-k^{-1}$.

Me gustaría agradecer a Will Jagy para que me apunta en la dirección correcta en su respuesta anterior