Es conocido que el de Euler fórmula de producto converge para $\Re(s)>1$ (y no representa la de Riemann zeta función).
Mi pregunta: Es el producto de Euler siempre divergentes para $0 < \Re(s) < 1$ ?
Pensé que el valor absoluto del producto de Euler fórmula es positivamente divergente, bajo la condición anterior. Es evidente?
Vamos $$t_P = \sum_{p < P} \log \left| \frac{1}{1-p^{-s}} \right|$$ con $s=\sigma+it$, $\sigma \in (0,1)$ y $t$ un real distinto de cero. El punto de esta respuesta es para mostrar que el $t_P$ saltar alrededor de una gran cantidad. Específicamente, para cualquier $M$ e $N$ hay $P$ e $Q$ con $N < P < Q$ tal que $t_Q - t_P > M$, y otros $P'$ e $Q'$ con $N < P' < Q'$ tal que $t_{Q'} - t_{P'} < -M$
Por lo tanto $t_P$ no puede acercarse a cualquier límite finito. Todavía podría enfoque de $\pm \infty$; pensar de $\sum (-1)^n (3+(-1)^n)^n$, lo que ha arbitrariamente grandes aumentos y disminuciones, pero hace subir a $\infty$. Sin embargo, este resultado significa que usted debe ser muy desconfiados de los datos numéricos que parece indicar que la $t_P$ tiene una tendencia definida: No siempre es suficiente futuro de oscilación restantes para acabar con los logros que ha hecho hacia la $\pm \infty$.
Obviamente, esto implica análogas a las declaraciones acerca de la $\prod \left| \frac{1}{1-p^{-s}} \right|$: no puede acercarse a un límite finito, y usted no debe confiar en la evidencia numérica que va a $0$ o $\infty$. Y, por supuesto, la vida sólo es más complicado si usted guarde la pista de el argumento de el de Euler del producto así como su magnitud.
Así, una prueba. Vamos a tratar a $\sigma$ e $t$ completamente fija, por lo que las constantes en $O$'s puede depender de ellos.
Elige un pequeño reales positivos $\delta$. Esta será una de una vez por todas elección, pero voy a grabar las dependencias de manera explícita, porque tengo que ver que me puede tomar una pequeña suficientes opciones para hacer que todo funcione.
Deje $(P,Q)$ ser de la forma $$(e^{(2 \pi k-\delta)/t}, e^{(2 \pi k+\delta)/t})$$ para algún entero positivo $k$. Eligiendo $k$ grandes, podemos organizar que $P$ e $Q$ son más grandes que cualquier $N$.
Para cualquier prime $p$ en este rango, $$|1-p^{-s}| = |1-p^{-\sigma} e^{i \theta}|$$ para algunos $\theta \in (2 \pi k - \delta, 2 \pi k + \delta)$. Así que esto es $$1-p^{-\sigma}(1 + O(\delta^2))$$ y $$ \log \left| \frac{1}{1-p^{-s}} \right| = p^{-\sigma} (1+O(\delta^2))(1+O(p^{-\sigma}))$$ Si $(P,Q)$ es suficientemente grande, el primer término de error domina y $$t_Q - t_P \geq \sum_{e^{2 \pi k - \delta}/t < p < e^{2 \pi k + \delta}/t} p^{-\sigma}(1+O(\delta^2)) = \# \{p: e^{(2 \pi k - \delta)/t} < p < e^{(2 \pi k + \delta)/t} \} e^{-2 \pi k \sigma/t} (1+O(\delta)).$$ (El término de error ha cambiado debido a las nuevas dominante de error es aproximar $e^{\delta \sigma/t}$ as $1+O(\delta)$.
Por el teorema de los números primos, el número de números primos en este rango es $$\left( e^{(2 \pi k + \delta)/t} - e^{(2 \pi k - \delta)/t} \right) \frac{1}{2 \pi k/t} (1 + O(1/k)) = \frac{2 \delta e^{2 \pi k/t}}{(2 \pi k/t)} (1+O(\delta)+O(1/k)).$$
En resumen, hemos delimitado $t_Q - t_P$ por debajo de $$\frac{\delta t e^{2 \pi k(1-\sigma)/t}}{2 \pi k}(1+O(\delta) + O(1/k)).$$ Suponiendo que nuestra elección inicial de $\delta$ era bastante pequeña, y el uso de $\sigma<1$, esto va a $\infty$.
Ahora, repita el argumento con $(P,Q) = (e^{((2k+1)\pi -\delta)/t}, e^{((2k+1)\pi +\delta)/t})$ a mostrar que $t_Q - t_P$ puede ser arbitrariamente negativos.
No tengo un instinto para saber si esta suma se a $- \infty$, va a $\infty$, o oscila indefinidamente. Sin embargo, debe quedar claro que esta suma está muy lejos de ser la $\zeta$ función.
Este es un argumento que $\prod_p(1-p^{-s})^{-1}$ es divergente para $\frac{1}{2}<\mathrm{Re}(s)<1$. Se supone que es convergente (es decir que tiene un límite distinto de cero), entonces el $\sum_p -\log(1-p^{-s})$ es también convergente. El uso de $-\log(1-p^{-s})=p^{-s}+O(p^{-2s})$ e $\mathrm{Re}(s)>\frac{1}{2}$ vemos que $\sum_p p^{-s}$ es convergente. Por un resultado estándar (por ejemplo, Montgomery-Vaughan: Multiplicativo de la Teoría de los números I, Página 11, Teorema 1.1.) esto implicaría que $\sum_p p^{-s}$ es convergente para algún número real $s<1$ lo cual es falso.
EDIT: Esta es una respuesta parcial a David Speyer comentario/pregunta si $\prod_p(1-p^{-s})^{-1}$ diverge a cero, se bifurca a $\infty$, u oscila. En el eje real del producto diverge claramente a cero por Mertens teorema, por lo que David realmente le pregunta sobre el comportamiento de los $$ \mathrm{Re}\sum_{p\leq N}\frac{1}{p^{\sigma+it}} = \sum_{p\leq N}\frac{\cos(t\log p)}{p^\sigma} $$ para $\frac{1}{2}<\sigma<1$ e $t\neq 0$: si se aparta a $\pm\infty$ o oscila como $N\to\infty$. Supongamos que la Hipótesis de Riemann, entonces $$ \psi(x):=\sum_{n\leq x}\Lambda(n)=x+O(x^{1/2}\log^2 x). $$ Hasta el $O(1)$ de error, la suma en cuestión es igual a $$ \sum_{n\leq N}\frac{\cos(t\log n)}{n^\sigma\log n}\Lambda(N)=\int_{2-}^N\frac{\cos(t\log x)}{x^\sigma\log x}d\psi(x).$$ El uso de todas las hipótesis se sigue por dos integraciones por partes (entre nosotros aproximado de $\psi(x)$ por $x$) que $$ \sum_{p\leq N}\frac{\cos(t\log p)}{p^\sigma} = \int_2^N\frac{\cos(t\log x)}{x^\sigma\log x}dx + O(1). $$ El lado derecho es puramente analítica, que no tiene ninguna referencia a los números primos. Debe ser sencillo para demostrar que el $\limsup$ e $\liminf$ de la mano derecha es $+\infty$ e $-\infty$, respectivamente, lo que demostraría que el de Euler producto oscila: el valor absoluto de los productos parciales obtener arbitraria cerca de $0$ e $\infty$.
El más simple argumento es que el dominio de convergencia de la generalizada de la serie de Dirichlet son siempre la mitad de los aviones. Puesto que hay un polo en s=1, sólo puede converger para $Re(s) >1$.
Pero la pregunta sigue siendo muy interesante por dos razones. Si usted considera que en lugar de Dirichlet L-funciones basadas en la no-personajes principales, entonces no hay ningún polo en $s=1$ y el argumento anterior no se aplica. En un trabajo reciente con Franca, hemos sostenido que el producto de Euler en realidad converge para $Re(s)> 1/2$.
La otra razón es que para los zeta de Riemann y otros personajes principales, un truncado de Euler producto todavía puede tener sentido para $Re(s) > 1/2$.
Además, el producto de Euler fórmula es válida en el límite de $Im(s) \to \infty$ sin truncamiento de una manera que puede ser hecho preciso. Este trabajo es en las matemáticas.NT
Por definición, un producto de $\prod (1-a_n)^{-1}$ converge o diverge dependiendo de si $\sum a_n$ converge o diverge EDIT: ESTO NO ES CORRECTO - VER los COMENTARIOS de ABAJO - GM. Por lo que la divergencia de Euler producto $\prod_p (1-p^{-s})^{-1}$ dentro de la crítica de la tira de $0 < \Re s < 1$ es equivalente a la divergencia de $$ F(s) = \sum_p \frac1{p^s}. $$ Ahora $F(s)$ es un viejo regulares de la serie de Dirichlet - sus coeficientes son el indicador de la función de los números primos - y por lo que converge en algunas mitad derecha el plano de la teoría general de Dirichlet de la serie (véase, por ejemplo, Montgomery y Vaughan Multiplicativo de la Teoría de los números I. teoría Clásica, en el capítulo 1). Pero sin duda se bifurca en $s=1$ por Mertens de la fórmula $$ \sum_{p\le x} \frac1p \sim \log\log x, $$ y por lo que no convergen (incluso condicional) en cualquier punto a la izquierda de $s=1$.
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