Delimitador de Schur simétrica polinomios en el círculo unidad

Question

Recordar el Schur polinomio en $n$ variables indizadas por la partición $\lambda$, con $\ell(\lambda) \leq n$, está dada por \begin{equation} s_\lambda(x_1,\ldots, x_n) = a_{\lambda + \delta}(x_1, \ldots, x_n) / a_\delta (x_1, \ldots, x_n), \end{equation} donde $\delta = (n-1,n-2,\ldots, 0)$ e $a_\lambda = \det (x_i^{\lambda_j})$ es el determinante de Vandermonde de la $n \times n$ matriz cuyas $(i,j)$ elemento $x_i^{\lambda_j}$. Mi notación aquí es consistente con Ian Macdonald Sala del polinomio de libro capítulo 1.

También vamos a $e_j$ ser $j$th primaria simétrica polinomio en $n$ variables $0 \le j \le n$. Estos son definidos por \begin{equation} \prod_{i=1}^n (1 + x_i t) = \sum_{j=0}^n e_j(x_1,\ldots, x_n) t^j. \end{equation} Por la Jacobi-Trudi fórmula sabemos que \begin{equation} s_\lambda = \det(e_{\lambda^t_i -i + j}), \end{equation} donde $\lambda^t$ es la transpuesta de la partición $\lambda$, es decir, $\lambda^t_i = \mid\{j: \lambda_j \geq i\}\mid$. Por lo tanto $s_{1^j} = e_j$, para $j \le n$.

Ahora nos dedicamos a $x_i \in \mathbb{T}:= \{z \in \mathbb{C}: \mid z \mid = 1\}$. Dado que \begin{equation} e_1(x_1, \ldots, x_n) = 0, \end{equation} es decir, $\sum x_i = 0$, estoy interesado en la delimitación de $s_\lambda$.

Tengo una conjetura para $\lambda = 1^{n/2}$, y $n = 4m$, $m \in \mathbb{N}$, es decir, \begin{equation} \mid e_{n/2}(x_1, \ldots, x_n) \mid \le \binom{n/2}{n/4}. \end{equation} Esto se logra cuando $x_i = (-1)^i$, es decir, cuando la mitad de la igualdad de $1$ y la otra mitad de la igualdad de $-1$, desde \begin{equation} \prod_i (1 +x_i t) = (1-t)^{n/2} (1+t)^{n/2} = (1-t^2)^{n/2}. \end{equation}

No sé si esta conjetura es verdadera para todos los $x_i$'s. Crédito completo será dado a resolver este caso especial. Sin embargo, también estoy interesado en una conjetura general para arbitrario $\lambda$.

Answer 1

En el caso especial mencionado en el problema, te voy a mostrar el obligado $$ |e_{n/2}(x_1,\ldots, x_n)| \le 2^{n/2}. $$ Vamos $$ F(z) = \prod_{j=1}^{n} (1+zx_j) = C \prod_{j=1}^{n} (z + \overline{x_j}), $$ donde $C= \prod_{j} x_j$ tiene magnitud $1$. (Las raíces de la $F$ se $-\overline{x_j}$.)

Ahora, por el teorema de Cauchy $$ e_{n/2}(x_1,\ldots,x_n) = \frac{1}{2\pi i} \int_{|z|=1} \frac{F(z)}{z^{n/2+1}} dz $$ y así, la magnitud del este está delimitado por $$ \le \sup_{|z|=1} |F(z)|. $$

Ahora vamos a utilizar una muy agradable Teorema de Carneiro y Vaaler (ver Teorema 8.1 no), lo que da un límite para el máximo de un polinomio cuyas raíces están en el círculo unitario en términos de los primeros simétrica de energía sumas de las raíces. Permítanme citar su resultado totalmente: Supongamos $G(z) = \prod_{j=1}^{N}(z-\alpha_j)$ es un polinomio con $|\alpha_j| \le 1$ para todos los $j$. Entonces para cualquier número natural $K$ hemos $$ \sup_{|z|\le 1} \log |G(z)| \le \frac{N}{K+1} \log 2 + \sum_{k=1}^{K} \frac{1}{k} \Big| \sum_{j=1}^{N} \alpha_j^k \Big|. $$ Este es el Teorema 8.1, pantalla (8.6) de su papel.

Aplicar esto a nuestro polinomio $F$, con $K=1$. Ya que la suma de los $x_j$ es cero, por supuesto, podemos deducir que $$ \max_{|z|=1} \log |F(z)| \le \frac{N}{2} \log 2, $$ lo que demuestra que los reivindica la estimación.

Tal vez hay una manera más fácil la prueba de este particular obligado, en vez de apelar a la Carneiro-Vaaler trabajo. No vi ninguno inmediatamente, y estaría muy interesado si alguien encuentra un enfoque alternativo.

Edit: En el caso particular $K=1$, que es lo que se necesita para esta pregunta, zeb amablemente me mostró la siguiente prueba: asumiendo $|\alpha_j|\le 1$ e $|z|\le 1$ hemos $$ |G(z)|^2 =\prod_{j} |z-\alpha_j|^2 \le \prod_{j} (2-2\text{Re }\overline{z}\alpha_j) \le 2^N \prod_j \exp(-\text{Re }\overline{z}\alpha_j)\le 2^N \exp\Big(\Big| \sum_j \alpha_j\Big|\Big). $$