En la categoría de álgebras sigma, ¿son todos los epimorfismos suryectivos?

Question

Consideremos la categoría de abstracto $\sigma$ -algebras ${\mathcal B} = (0, 1, \vee, \wedge, \bigvee_{n=1}^\infty, \bigwedge_{n=1}^\infty, \overline{\cdot})$ (álgebras booleanas en las que existen todas las uniones y uniones contables), siendo los morfismos las $\sigma$ -homomorfismos booleanos completos (homomorfismos de álgebras booleanas que preservan uniones y encuentros contables). Si un morfismo $\phi: {\mathcal A} \to {\mathcal B}$ entre dos $\sigma$ -es suryectiva, entonces es ciertamente un epimorfismo: si $\psi_1, \psi_2: {\mathcal B} \to {\mathcal C}$ son tales que $\psi_1 \circ \phi = \psi_2 \circ \phi$ entonces $\psi_1 = \psi_2$ . Pero ¿es cierta la inversa: es todo epimorfismo $\phi: {\mathcal A} \to {\mathcal B}$ ¿subjetivo?

Configuración ${\mathcal B}_0 := \phi({\mathcal A})$ la cuestión puede plantearse como el siguiente problema de extensión no única. Si ${\mathcal B}_0$ es un sub $\sigma$ -de ${\mathcal B}$ ¿existen dos $\sigma$ -homomorfismos de álgebra $\psi_1, \psi_2: {\mathcal B} \to {\mathcal C}$ en otro $\sigma$ -álgebra ${\mathcal C}$ que están de acuerdo en ${\mathcal B}_0$ pero no son idénticamente iguales en ${\mathcal B}$ ?

En el caso de que ${\mathcal B}$ se genera a partir de ${\mathcal B}_0$ y un elemento adicional $E \in {\mathcal B} \backslash {\mathcal B}_0$ todos los elementos de ${\mathcal B}$ son de la forma $(A \wedge E) \vee (B \wedge \overline{E})$ para $A, B \in {\mathcal B}_0$ y puedo construir tales homomorfismos a mano, estableciendo ${\mathcal C} := {\mathcal B}_0/{\mathcal I}$ donde ${\mathcal I}$ es el ideal propio $$ {\mathcal I} := \{ A \in {\mathcal B}_0: A \wedge E, A \wedge\overline{E} \in {\mathcal B}_0 \}$$ y $\psi_1, \psi_2: {\mathcal B} \to {\mathcal C}$ se definen fijando $$ \psi_1( (A \wedge E) \vee (B \wedge \overline{E}) ) := [A]$$ y $$ \psi_2( (A \wedge E) \vee (B \wedge \overline{E}) ) := [B]$$ para $A,B \in {\mathcal B}_0$ donde $[A]$ denota la clase de equivalencia de $A$ en ${\mathcal C}$ señalando que $\psi_1(E) = 1 \neq 0 = \psi_2(E)$ . Sin embargo, no pude obtener entonces el caso general; los argumentos habituales del tipo del lema de Zorn que uno invoca normalmente para dar teoremas de extensión del tipo Hahn-Banach no parecen estar disponibles en el $\sigma$ -de álgebra. También he jugado con el teorema de Loomis-Sikorski, pero no he podido controlar suficientemente los distintos ideales nulos para resolver la cuestión (parecen surgir algunos problemas sutiles que recuerdan a los "teoremas de selección medibles"). Sin embargo, la dualidad de Stone parece resolver la cuestión correspondiente para las álgebras booleanas.

Answer 1

$\require{AMScd}$

Un artículo de 1974 de R. Lagrange, Amalgama y epimorfismos en $\mathfrak{m}$ -álgebras booleanas completas (Álgebra Universalis 4 (1974), 277-279, Enlace DOI ), lo resolvió afirmativamente. En el artículo citado, Lagrange demuestra que para cualquier cardinal infinito $\mathfrak{m}$ la categoría de $\mathfrak{m}$ -álgebras booleanas completas con $\mathfrak{m}$ -tiene la propiedad de amalgama fuerte, lo que implica que los epimorfismos son suryectivos. Señala que la prueba funciona igual de bien para álgebras booleanas completas, y yo añadiría también que se puede adaptar para álgebras booleanas simples. Si entiendo lo que quiere decir un abstracto $\sigma$ -algebra correctamente, este es el resultado que buscas.

Sea $\mathcal{C}$ sea una categoría concreta para que podamos hablar con sentido de que los epimorfismos son suryectivos.

$\mathcal{C}$ se dice que tiene el fuerte propiedad de amalgama si para cada tramo $C \xleftarrow{f} A \xrightarrow{g} B$ de monomorfismos (aka amalgama), existe un objeto $D \in \mathcal{C}$ y un diagrama conmutativo de monomorfismos $$ \begin{CD} A @> g>> B\\ @VfVV @Vg'VV \\ C @>f'>> D, \end{CD} $$

tal que $g'(B) \cap f'(C) = g'g(A) = f'f(A)$

Restringir aún más la atención a una variedad de estructuras algebraicas, de modo que ser un monomorfismo es equivalente a mapear conjuntos subyacentes inyectivamente y cada morfismo canónicamente factores como una suryección seguida de un monomorfismo. Entonces la propiedad de amalgama fuerte implica inmediatamente que los epis son suryectivos (véase el corolario del artículo de Lagrange).

Creo que este es un buen enfoque -o al menos que invita a la reflexión- para abordar su pregunta a la luz de su comentario de que está "buscando una respuesta canónica". Por variedades, vemos que la solución al problema de la amalgama fuerte siempre proporciona una extensión canónica no única: dado un monomorfismo propio $A \rightarrow B$ obtenemos la amalgama fuerte $D$ de $B \leftarrow A \rightarrow B$ junto con monomorfismos distintos (!) $B \rightarrow D$ que están de acuerdo en $A$ .

Además, la solución al problema de amalgama fuerte podría considerarse canónica en sí misma. Básicamente, el método de Lagrange es una construcción en tres partes: (1) incrustar en el mejor coproducto disponible, que está en la categoría ambiente de las álgebras booleanas (2) hacer un cociente de ese coproducto para forzar la propiedad de intersección deseada de la amalgamación fuerte (que tiene el asombroso efecto de restaurar los morfismos a nuestra categoría real) (3) completar este coproducto cotizado, de modo que todo el incrustamiento esté ahora en-categoría. En otras palabras, hazlo lo mejor que puedas con el coproducto que tienes... y luego corrige los errores de la única manera sensata . Supongo que parece canónico.

Sobre este último punto, podría ser interesante comparar esta construcción con soluciones al problema de la amalgama fuerte en otras variedades, en particular grupos (finitos) y álgebras de Lie sobre campos.