Etale sitio es útil - ejemplos de uso de la pequeña fppf sitio?

Question

Edit: Después de las respuestas y comentarios, yo estoy esperando un poco de elaboración (en el comentario a la respuesta.) También, la pregunta 2 se discuten aquí:

Los puntos en los sitios (etale, fppf, ... )

Allí, Davidac897 dio una buena descripción de los puntos en el más general de los sitios. Me interesaría si no hay una descripción de los puntos en el pequeño fppf sitio y gran etale sitio a través de una (tan bonito como te gusta) esquema (similar a la descripción concreta de los puntos que tenemos para la pequeña etale sitio).

Gracias a todos por los comentarios y respuestas!

---

El título muy mucho lo resume todo. El etale sitio es muy útil y las aplicaciones básicas son bien conocidos. Milne también dedica tiempo a la Plana sitio en su Etale Cohomology libro. Yo estoy esperando que alguien me puede dar ejemplos de aplicaciones.

1.) Estoy más interesado en la (pequeña) Plano del sitio. Lo que no se suelen usar esto? Deje $X$ un esquema sobre $\mathbb{F}_P$ e $\alpha\alpha_P$ ser la gavilla en el pequeño fppf sitio más de $X$ definido por el esquema de grupo $\mathbb{F}_P[t]/(t^p)$. La secuencia de las poleas

$$ 0 \rightarrow \alpha\alpha_P \rightarrow \mathbb{G}_a \xrightarrow{F} \mathbb{G}_a \rightarrow 0$$ ($F$ es el mapa $z \mapsto z^p$) tiene sentido en la (pequeña) Etale sitio, pero no suele ser exactos allí. Sin embargo, se convierte en exacta en la (pequeña) fppf sitio. Esto es útil, porque una ses de las poleas de los rendimientos de una larga secuencia exacta, y por lo tanto las relaciones que uno (al menos yo) no es tan fácil expresar sin la Plana sitio. Ni siquiera sé si esto es un ejemplo típico, o si hay muchos otros ejemplos en estas líneas (o muchos ejemplos no a lo largo de estas líneas).

$\textrm{Principal Homogenous Spaces}$: Cohomology en el plano del sitio calcula el conjunto de los principales homogénea de los espacios de más de un sistema (wrt un esquema de grupo $G/X$).

2.) ¿Qué son los puntos en la (pequeña) plano de sitio? Yo no soy capaz de soñar con una buena descripción de estos (o dónde buscar).

Answer 1

Brevemente, para entender $p$-de los fenómenos característicos $p$ usted necesita para reemplazar el etale de la humanidad por la fppf sitio. Por ejemplo, para entender la $p$-torsión en el grupo de Brauer usted necesita el $p$-Kummer de la secuencia y la cohomology de $\mu_{p^n}$, y el estudio de la $p$-torsión en la Tate-Shafarevich grupo supone el estudio de la cohomology de finito grupo de esquemas de $p$-el poder de la orden más las curvas. También hay muchas puramente geométrica de las aplicaciones, por ejemplo, a la Picard functor. Usted debe pensar en el fppf cohomology como EL cohomology de la teoría, pero la etale topología es lo suficientemente fina para el cómputo de la cohomology de suave grupo de planes, y la topología de Zariski es lo suficientemente fina para el cómputo de la cohomology coherente de las poleas.

Answer 2

El cohomology de $\mu_{p^n}$ e $\mathscr{A}[p^n]$ por un Abelian esquema de $\mathscr{A}$ en el carácter $p > 0$ también pueden ser estudiados mediante syntomic cohomology.