¿Existe una referencia para la "computación $\pi$ " utilizando los rayos externos del conjunto de Mandelbrot?

Question

Recientemente me han recordado el siguiente hecho simpático que expondré como una proposición para fijar la notación:

Propuesta Dado $\epsilon > 0$ , dejemos que $c = -3/4 + \epsilon i \in \mathbb{C}$ y $q_c(z) = z^2 + c$ . Definir la secuencia de polinomios $q_c^n$ de forma inductiva por $q_c^0(z) = z$ y $$ q_c^{n+1}(z) = q_c(q_c^n(z)). $$ Desde $q_c^n(0) \to \infty$ como $n \to \infty$ , $$ N(\epsilon) = \min\{n ~:~ |q_c^n(0)| > 2 \} $$ está bien definida. El hecho lindo es que: $$ \epsilon N(\epsilon) \to \pi, $$ como $\epsilon \to 0$ .

El siguiente ejemplo más sencillo de este fenómeno utiliza $c = 1/4 + \epsilon$ . Si definimos $N(\epsilon)$ de manera similar, esta vez resulta que: $$ \sqrt{\epsilon} N(\epsilon) \to \pi, $$ como $\epsilon \to 0$ .

Los puntos $-3/4$ y $1/4$ son el "cuello" y el "trasero", respectivamente, del conjunto de Mandelbrot y hay varios otros ejemplos de estos " $\pi$ caminos": son curvas convenientemente parametrizadas y simultáneamente tangentes a dos bulbos del conjunto de Mandelbrot donde se encuentran con él. De hecho, supongo que cualquier parte de la frontera en la que un bulbo se desprende funciona y, por tanto, hay infinitas trayectorias de este tipo. Los rayos externos parecen los caminos obvios y tienen una parametrización natural. (Nótese que aunque $\epsilon \mapsto -3/4 + \epsilon i$ no es un rayo externo, es asintótico a uno, al menos en cuanto a conjunto, que es lo que realmente importa).

Si es cierto, estoy seguro de que todo esto está en la literatura (tal vez implícitamente), pero no conozco el campo y después de buscar a través de algunos documentos preciosos que no pude encontrar lo que quería. Una suposición ingenua es que algo como lo siguiente podría ser cierto:

Conjetura medio seria Dejemos que $M \subset \mathbb{C}$ sea el conjunto de Mandelbrot, $\overline D \subset \mathbb{C}$ el disco de la unidad cerrada y $\Phi : \mathbb{C} - M \to \mathbb{C} - \overline D$ el único isomorfismo conforme tal que $\Phi(c) \sim c$ como $c \to \infty$ . Sea $e^{i\theta} \in S^1$ (para $\theta$ racional) y dejar: $$ \alpha : (1, \infty) \to \mathbb{C} - M\\ r \mapsto \Phi^{-1}(re^{i\theta}) $$ Dejemos que $c = \alpha(r)$ y definir $N(r)$ como arriba, entonces: $$ N(r) \sim \pi / f_\theta(r) $$ para alguna función $f_\theta$ , de tal manera que $f_\theta(r) \to 0$ como $r \to 1$ y en particular $f_0(r) \sim \sqrt{\alpha(r)-1/4}$ y $f_{1/3} \sim -i(\alpha(r)+3/4)$ .

Aquí, por fin, está mi pregunta:

Pregunta ¿Es correcta alguna forma convenientemente modificada de la conjetura anterior y existe una prueba en la literatura hacia la que alguien pueda dirigirme?

Aparte de la curiosidad general, mi motivación se deriva del hecho de que no es demasiado difícil probar los resultados declarados para el $c = -3/4 + \epsilon i$ y $c = 1/4 + \epsilon$ caminos por separado pero me gustaría tener una prueba unificada. Por ejemplo, para demostrar el resultado para el (más fácil) $c = 1/4 + \epsilon$ camino que consideramos: $$ z_{n+1} = z_n^2 + 1/4 + \epsilon\\ \Rightarrow z_{n+1} - z_n = (z_n - 1/2)^2 + \epsilon $$ Entonces aproxima: $$ \frac{dz}{dn} \simeq (z-1/2)^2 + \epsilon\\ \Rightarrow z(n) = 1/2 + \sqrt{\epsilon}\tan(\sqrt{\epsilon}n)\\ \Rightarrow \sqrt{\epsilon}N(\epsilon) \simeq \tan^{-1}(\frac{3}{2\sqrt{\epsilon}} ) - \tan^{-1}(-\frac{1}{2\sqrt{\epsilon}}) $$ Y así, siempre que podamos justificar que la aproximación es exacta como $\epsilon \to 0$ (lo cual es complicado pero posible) el resultado es el siguiente.

Answer 1

Estos resultados (que son realmente bonitos - no los había visto antes) están bien explicados por la teoría de la explosión parabólica, que ya es clásica. De hecho, para el conjunto de Mandelbrot, creo que las afirmaciones pertinentes eran conocidas por los expertos ya en los años 80; puede que ya estén contenidas implícitamente en las notas de Orsay de Douady y Hubbard. Para una introducción, véase Shishikura, Bifurcation of parabolic fixed points, en El conjunto de Mandelbrot, Tema y Variaciones .

Voy a centrarme en el caso de las parabólicas "primitivas", es decir, las "cúspides" de las copias de Mandelbrot, con $c=1/4$ siendo el caso más sencillo.

Entonces (véase el teorema 3.2.2 del artículo de Shishikura) -bajo perturbaciones como las que describes- el número de iterados para escapar a través de la dinámica del "batidor de huevos" a una parte prescrita de la cuenca del infinito es esencialmente $$N(c) \approx \frac{1}{|\alpha(c)|},$$ donde $\lambda(c) = e^{2\pi i \alpha(c)}$ es el multiplicador de una de las órbitas que bifurcan desde el punto fijo parabólico. (Este multiplicador es una función holomorfa definida en una doble cobertura alrededor de la parabólica; de ahí la raíz cuadrada en la expresión).

Así, para las perturbaciones $c=1/4+\epsilon$ el punto fijo de repulsión tiene el multiplicador $$\lambda(c) = 1 + 2\sqrt{-\epsilon}$$ por un cálculo elemental y conocido. Así que $$N(c) \approx \frac{2\pi}{|\log \lambda(c)|}\approx \frac{2\pi}{2\sqrt{\epsilon}}=\frac{\pi}{\sqrt{\epsilon}}.$$

Por lo tanto, en efecto $$ N(c)\cdot \sqrt{\epsilon}\to\pi.$$ Para otros parámetros, obtendrá resultados similares, que sin embargo dependerán de la derivada del mapa multiplicador con respecto al parámetro en un sentido adecuado. Nótese que la formulación anterior (en términos de órbitas repelentes) es, en cualquier caso, la natural, ya que es independiente de la parametrización.

Para el caso de los satélites, hay resultados similares que se pueden encontrar en la literatura. De nuevo, para la bifurcación en -3/4, se obtiene una fórmula explícita porque se pueden calcular directamente los multiplicadores de las órbitas en cuestión.