Hay una generalización de homotopy grupos fraccional de dimensiones

Question

¿Existe un razonable candidato para un objeto como $\pi_{\frac12}(X)$?

Answer 1

Conforme a lo solicitado, he aquí un poco más de detalle en la forma de una respuesta.

Descargo de responsabilidad: permítanme comenzar diciendo que va a ser más fácil para mí hablar de estable homotopy grupos en lugar de homotopy los grupos, porque eso es todo lo que sé acerca de. Con esto quiero decir, yo no voy a definir, dicen, $\pi_{1/2}S^3$ sino $\pi_{N+1/2}S^{3+N}$ al $N$ es realmente grande. A lo largo voy a ser perezoso y escribir $\pi_kX$ de lo que realmente debe ser el valor estable de $\pi_{k+N}\Sigma^NX$. Siéntase libre de ignorar esto. Alguien que sabe más de esto que yo hago puede venir alrededor y relleno en cómo traducir esta de nuevo en algo sobre ordinario homotopy grupos. También, a menos que yo diga lo contrario, mi primo es impar. (Contrariamente a la práctica normal aquí en el Noroeste.)

La motivación y la (pseudo-)de la Historia

Aquí es un 'just-so" historia acerca de cómo se podría haber inventado $p$-adically interpolados homotopy grupos. Creo que es muy cercano a la historia real, pero yo no estaba en Mike Hopkins la cabeza en el momento, así que no sé. (Pero yo realmente deseo que había sido... lo que es una gran secuela de cómo Ser John Malkovich que sería).

Como de costumbre, se inicia con $K$ teoría. Excepto que me dijo vamos a $p$-adically interpolar, por lo que en realidad queremos $p$-completa $K$ teoría, $K_p$. La cosa agradable sobre $p$-ádico $K$-la teoría es que, para cualquier número $m$ coprime a $p$, hay una transformación natural de (multiplicativo) cohomology teorías, llamado Adams operaciones, $\psi^m: K_p \rightarrow K_p$. Se supone que esta es la de actuar como una linealización de tomar exterior poderes de vector de paquetes, y aquí es todo lo que necesita saber acerca de él:

1. Si $v \in K(S^2)$ indica la periodicidad de Bott elemento, a continuación, $\psi^m(v) = mv$
2. $\psi^m$ induce una gradual anillo endomorfismo de $K^*(pt)$

Ahora, por diversas razones, procedentes de colector de teoría (si estás Sullivan) o simplemente tratando de entender algunos de los elementos en el establo homotopy grupos de esferas (si eres Adams), la gente se interesa en la comprensión de la cohomology de la teoría que se obtiene al tomar el 'puntos fijos' de $\psi^m$. Es decir, querían entender el cohomology teoría de la $J$ que tiene una transformación natural $J \rightarrow K_p$ y tal que, para cualquier espacio de $X$, se obtiene una larga secuencia exacta

$$J^n(X)\rightarrow K^n_p(X) \stackrel{\psi^m -1}{\longrightarrow} K^n_p(X) \rightarrow J^{n+1}(X) \rightarrow \cdots$$

Cuando usted elige $m$ correctamente (voy a decir cómo en un segundo), esta cohomology teoría merece el nombre de $S_{K(1)}$ que significa '$K(1)$-esfera local, " porque se ve muy especiales de un sector del arco iris de la que se compone la esfera (o más exactamente, la 'estable' los fenómenos de la esfera).

Este es el objeto que vamos a levantar ahora a la "1/2 th" el poder, y los mapas de este constituirán elementos de $\pi_{1/2}$. La clave es observar los siguientes:

1. $K^{2n}_p(pt)= \mathbb{Z}_p$
2. El mapa de $x \mapsto (m^{n}x - x)$ sobre el $p$-adics tiene sentido (invertible) $p$-ádico valores de $m$.

Ahora puedo decirte cómo escoger a $m$ para obtener el $K(1)$-esfera local: tiene que ser un topológico generador de la $p$-ádico unidades. (Los siguientes junto en casa acabo de ver por qué mi primer era impar.) Si pensamos acerca de la periodicidad de Bott y mira fijamente a la fórmula un poco, queda claro que el $\lambda$th suspensión,$\lambda \in \mathbb{Z}_p$, debe ser obtenida por la toma de la fibra del mapa que, en homotopy grupos, no $x \mapsto (m^nx - \lambda x)$. [Bien, tarda un poco nerviosa al ver que esta es la cosa correcta de hacer - ayuda a interpretar $\lambda$ como una unidad que es 1 mod $p$].

Esta fibra se comporta como el $\lambda$th suspensión de la $K(1)$-esfera local, y con ella podemos sonda $K(1)$-los espacios locales y los espectros $p$-adically. Al $p=2$ hay un poco más de cosas que usted puede probar con el, pero usted consigue $2$-ádico cosas así.

La historia general

Todo lo anterior es explicado en Hopkins-Mahowald-Sadofsky del papel aquí. Que es donde se puso en marcha el programa de computación Picard grupos. Como he dicho antes, el grupo de Picard de un monoidal simétrica categoría es el conjunto de (isomorfismo clases de) $\otimes$-invertible objetos. Estos son buenos para la indexación cosas como homotopy grupos en todo tipo de ajustes.

Ejemplo. El grupo de Picard de la categoría de los espectros (de la casa a cohomology teorías y estable homotopy grupos) es $\mathbb{Z}$ y se obtiene ordinario homotopy grupos. Mismo para $p$-local espectros. Ejemplo El grupo de Picard de la categoría de motivic espectros sobre cualquier base contiene al menos una copia de $\mathbb{Z}^2$ generado por los simplicial de la esfera y de $\mathbb{G}_m$. El exótico clasificación permite al estado y a probar algunas bastante potente declaraciones, y es algo relacionado con la Grothendieck-Deligne yoga de pesos. Ejemplo El grupo de Picard de la categoría de la (auténtica) equivariant espectros contiene el punto de compactifications de representaciones ortogonales (es decir, la representación de las esferas') y necesita este es un extra poco de jugo de conseguir cosas como la dualidad de Poincaré en el equivariant configuración.

El más misterioso de ejemplo, sin embargo, es la $K(n)$-categoría local (esto es lo que ve el $n$th capa de el arco iris de la esfera, nos reunimos $n=1$ anterior). Todavía estamos en las primeras etapas de la comprensión del grupo de Picard de esta categoría, pero es muy conveniente hacerlo. Para uno, hay misteriosa dualidad fenómenos en el $K(n)$-categoría local, de forma análoga a la dualidad de Poincaré ejemplo mencionado en el equivariant, que requieren exóticas suspensiones (ver aquí). Por otro lado, puede ser útil para el índice de la homotopy grupos de algo como una función de una $p$-ádico número, digamos. Quién sabe - tal vez la única forma que podremos obtener una respuesta a " ¿cuáles son los rangos de la homotopy grupos de esferas?' es buscar soluciones como 'los valores especiales de algunos horriblemente incomputable aritmética-p-adic-y-L-tipo de la función".

Pero eso es especulación. Para algunos cálculos recientes, ver algunos de los trabajos aquí por Pablo Goerss y sus colaboradores (Henn, Mahowald, Rezk).