En la ecuación f(z+1)-f(z)=f'(z)

Question

Problema original

Si $f$ es una función entera tal que $$ f(z+1)-f(z)=f'(z) $$ para todos $z$ . ¿Existe una solución no trivial? ( $f(z)=az+b$ es trivial)

Y aquí hay algo de incertidumbre

Si utilizamos la transformada de Fourier, ¿cómo definirla para que cualquier función entera tenga una FT?

La FT clásica se define por $$ \mathcal{F}[f] = F(\xi) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}f(z)\mathrm{e}^{-\mathrm{i} \xi z} \mathrm{d} z. $$ Esto sólo funciona para $f \in L^1(\mathbb{R})$ . (Si se mejora, puede funcionar para $f \in L^2(\mathbb{R})$ .)

Lo sé. $\mathcal{F}[\mathrm{e}^{sz}] = \sqrt{2 \pi} \delta(\xi - \mathrm{i}s)$ pero no estoy seguro de una definición general.

Answer 1

Las ecuaciones funcionales lineales pueden resolverse con la transformada de Fourier. Sea $\lambda_k$ sean las raíces de la ecuación $e^\lambda-1=\lambda$ . Hay infinitas raíces de este tipo. Entonces

$$f(z)=\sum_k a_ke^{\lambda_k z}$$

es una solución. Aquí la suma puede ser finita, y $a_k$ arbitraria, o la suma puede ser infinita, y $a_k$ tienden a cero con tal rapidez que la serie converge.

La solución trivial está cubierta, si interpretas la respuesta correctamente. La ecuación $e^\lambda-1=\lambda$ tiene una DOBLE raíz en $0$ . Para el caso de una raíz doble se incluye no sólo el término $e^{\lambda z}$ sino también el término $ze^{\lambda z}$ . Del mismo modo, para las raíces múltiples $z^ke^{\lambda z}$ . Así que la raíz $\lambda=0$ cubre exactamente la solución $az+b$ .

EDIT: En realidad todas las soluciones enteras se pueden representar de esta manera, para la prueba me remito a Gelfond, Calculus of finite differences, MR0342890, Chap. 5 Sect 7, Thm II and Corollaries. Él da la ecuación $f'(z)=f(z-1)$ como ejemplo, pero su ecuación se trata de forma similar.

EDIT2: El problema se puede generalizar como sigue: Sea $\omega$ sea una distribución con soporte limitado. Ecuación $f\star w=0$ , donde $\star$ es la convolución, se llama ecuación de convolución y sus soluciones se denominan media-periódica funciones (fonctions moyenne-periodiques). El caso que nos ocupa es $\omega(x)=\delta(x+1)-\delta(x)-\delta'(x)$ donde $\delta$ es la función delta. La teoría de las funciones periódicas medias fue creada por Delsarte y Schwartz en 1940. Schwartz tiene un resultado general de que todas las funciones periódicas medias pueden obtenerse como límite de sumas exponenciales, como en este problema.