Fermat prueba para $x^3-y^2=2$

Question

Fermat demostró que $x^3-y^2=2$ tiene una única solución $(x,y)=(3,5)$.

Después de algunas búsquedas,sólo he encontrado las pruebas usando la factorización sobre el ring $Z[\sqrt{-2}]$.

Mi pregunta es:

Es este Fermat original de la prueba?Si no donde lo puedo encontrar?

Gracias por ver

Nota: no estoy esperando encontrar Fermat otras, debido a que este no puede existir. Tenía la esperanza de encontrar una prueba de que sería más "Fermatian"

Answer 1

Fermat nunca dio una prueba, sólo anunció que había uno (suena familiar?). Euler dio una prueba, que era defectuoso, consulte Franz Lemmermeyer de notas de la conferencia, o consulte la página 4 de David Cox introducción.

Para una discusión de por qué una prueba a lo largo de las líneas establecidas por Fermat es poco probable que funcione, ver este MO publicación.

---- trivia ----

Como curiosidad, miré de Fermat texto original (que se reproducen a continuación de sus obras completas), escrito en el margen de la Arithmetica de Diophantus:

Se puede encontrar en los números enteros en un cuadrado diferente de 25 que, cuando aumentó un 2, se convierte en un cubo? Esto podría parecer en un primer momento a difícil discutir; y, sin embargo, me puede la prueba mediante una rigurosa demostración que el 25 es el único entero de la plaza que está a menos de un cubo dos unidades. Para los racionales, el método de Bachet proporcionaría una infinidad de esas plazas, pero la teoría de los números enteros, que es muy hermoso y sutil, no era conocido previamente, ni por Bachet, ni por cualquier autor, cuya obra he leído.

Answer 2

Fermat no probar este resultado; él afirmaba que la única solución es la más obvia y la conjetura (en palabras que parecen sugerir que él sabía cómo demostrarlo, pero sin decirlo explícitamente) que esto puede ser probado por el descenso. Estoy seguro de que Fermat, si él realmente creía para tener una prueba (en mi opinión no lo hizo), estaba equivocado.

Yo no soy consciente de que las pruebas basadas en Fermat solo las técnicas, y muchas veces he intentado para encontrar uno mismo - hasta ahora sin éxito.

Answer 3

Aquí es cómo Fermat hizo probablemente (es como yo lo hice - no todos los pasos que fueron necesarios, pero tengo que creer que esto era cerca de Fermat proceso de pensamiento).

Cualquier primos de la forma $8n+1$ o $8n+3$ puede ser escrita en la forma $a^2 +2b^2$. Esto está demostrado con técnicas de descenso una vez que se da cuenta de que $-2$ e $1$ son plazas mod $8n+1$ o $8n+3$ y, por tanto, la configuración de $a^2=-2$ e $b^2 = 1$ obtiene el resultado de $0$ (mod $8n+1$ o $8n+3$) por $a^2+2b^2$, lo que significa que nuestro primer divide el resultado. Cualquier primos de la forma $8n+5$ o $8n+7$ no puede ser.

El punto dos es que las combinaciones de cuadrados con las formas comunes que cuando se multiplica por cada uno de los otros que conserven su forma. Deje $x = a^2 + Sb^2$, e $y = c^2 + Sd^2$. $xy = (ac+Sbd)^2 + S(ad-bc)^2 = (ac-Sbd)^2 + S(ad+bc)^2$

El punto tres es que si $y$ incluso $y^2 + 2$ es que, aunque es $x^3$. Dividir ambos lados por $2$ haría que el lado izquierdo impar y a mano derecha aún así tanto en $y$ e $x$ son impares.

Punto cuatro es que si un no-prime es de la forma $a^2 + 2b^2$ entonces todos sus factores primos debe ser de la forma $8n+1$ o $8n+3$, o el factor debe ser un cuadrado.

Punto cinco es observar que $y^2 + 2$ es de la forma $a^2 + 2b^2$ con $a=y$ e $b=1$. La combinación de este con cuatro y uno significa que no hay plazas de la forma $8n+5$ o $8n+7$ desde $b$ sería igual que la plaza, no $1$.

Así que ahora se amplían punto tres para hacer la prueba. $x$ es de la forma $a^2 + 2b^2$. $x^3$ puede ser escrito como $(a^3-3Sab^2)^2 + S(3a^2b-Sb^3)^2$. Dejando $S=2$ vemos que la expresión $(3a^2b-2b^3)^2$ debe ser igual a $1$. Por lo tanto $b^2 \cdot (3a^2-2b^2)^2 =1$. El uso de números enteros positivos vemos a $b=a=1$ es la única solución. Por lo tanto $x =1^2 + 2*1^2 = 3$ es la única posibilidad y $5^2 + 2 =3^3$ es la única solución