¿Qué registro de la convexidad decir?

Question

La Bohr–Mollerup teorema caracteriza a la función Gamma $\Gamma(x)$ como la única función de $f(x)$ en los reales positivos tales que $f(1)=1$, $f(x+1)=xf(x)$, y $f$ es de forma logarítmica convexa, es decir, $\log(f(x))$ es una función convexa.

Qué significado o una idea de qué podemos extraer de registro de convexidad? Hay dos obvio, pero menos de respuestas útiles. Una es que el registro de la convexidad significa exactamente lo que la definición lo dice, nada más y nada menos. El otro es más o menos circular que desde la función Gamma es tan importante, cualquier propiedad que lo caracteriza es también significativo.

El artículo de la wikipedia http://en.wikipedia.org/wiki/Logarithmic_convexity señalar que "una forma logarítmica convexa de la función es una función convexa, pero la inversa no es siempre la verdad" con el contraejemplo de $f(x)=x^2$. La única forma logarítmica convexo ejemplos en el artículo venir trivialmente de exponentiating de las funciones convexas, y el ejemplo $\Gamma(x)$.

Permítanme decir de antemano que estoy menos interesado en la función Gamma que estoy en la noción de registro de la convexidad, por lo que esta cuestión no es un duplicado de

Importancia de Registro de la Convexidad de la Función Gamma

Una sabia respuesta por Andrey Rekalo a esa pregunta, es que las funciones que se pueden realizar como finito de momentos de Borel medidas de registro de las funciones convexas. Pero estoy más interesado en las cosas que están implícitas en las (v. implica) registro de la convexidad.

Mi verdadera motivación es el hecho de que la Hipótesis de Riemann implica que los Hardy función de registro convexo para suficientemente grande $t$. (Los Hardy función de $Z(t)$ es sólo $\zeta(1/2+it)$ con la fase llevado a cabo, por lo $Z(t)$ es real y valorada $|Z(t)|=|\zeta(1/2+it)|$.) Esto es en Edward del libro 'Riemann Zeta Función de la Sección 8.3, en el idioma que RH $\Rightarrow Z^\prime/Z$ es monótona. Este dice que entre consecutivos real ceros, $-\log|Z(t)|$ es convexa.

Cualquier visión sería bienvenido.

Answer 1

Registro de la convexidad aparece en un montón de lugares diferentes (por ejemplo, el determinante de positiva definida matrices es registro-cóncavo, el perron-frobenius autovalor positivo de las matrices de registro es convexo, volúmenes de cuerpos convexos son de registro cóncava, etc, etc). Para una discusión tenido absolutamente nada que ver con la función gamma, ver S. Boyd y L. Vanderberghe del libro "optimización Convexa" (página 105). PDF disponible de forma gratuita en Boyd sitio web (google "Stephen Boyd Stanford")

Answer 2

Muchas de las densidades de probabilidad log-cóncava, que resulta ser una propiedad muy útil. Para una cosa, es una manera de cuantificar que la densidad es algo así como una densidad normal, tal vez lo suficiente como normal para un teorema de generalizar.

También, og-cóncavo densidades de satisfacer agradable teoremas. Por ejemplo, si el archivo PDF de una variable aleatoria es registro-cóncavo, la CDF es así. También, la convolución de dos de registro-cóncavo de las densidades es también de registro-cóncavo.

Answer 3

En mi opinión, algunas de las razones que hacen de registro-convexidad (l.c.) niza / útiles son:

1. Si $f$ e $g$ son l.c., a continuación, $f+g$ e $fg$ son ambos log-convexa (nota de registro-concavidad en el otro lado no es cerrado bajo la suma, aunque como Allen se ha comentado, es cerrado bajo la convolución (Prekopá del teorema))

2. L. c. las funciones están relacionadas con completamente monótona de las funciones (es decir, las funciones para las que $(-1)^n f^{(n)}(x) \ge 0$ para todos los $x > 0$, e $n \in \mathbb{N}$), en la que cualquier completamente monótona de la función también es l.c.; Si recuerdo correctamente, un lugar completamente monótona de las funciones de llegar, naturalmente, es la hora de considerar transformadas de Laplace. Otro ejemplo: la transformada de Laplace de cualquier valor no negativo función es l.c.

3. L. c. está estrechamente relacionada con la multiplicatively de las funciones convexas (es decir, $f(\sqrt{xy}) \le \sqrt{f(x)f(y)}$), y se sabe que el logarítmica integral es multiplicatively convexo.

   Muchas más agradable propiedades se pueden encontrar en el libro: de las funciones Convexas y sus aplicaciones: Un enfoque contemporáneo por el C. P. Niculescu y L.-E. Persson.

Answer 4

A partir de las observaciones, registro de convexidad lleva a concluir que la Hipótesis de Riemann implica Lindelof hipótesis. La implicación de registro de convexidad viene de Hadamard Tres Círculo Teorema de