Sí, puede estimar la dimensión contando las cajas. No es del todo un movimiento de manos, pero la idea tiene la ventaja de ser intuitiva.
1) Consideras el atractor del mapa logístico como una analogía de un conjunto de Cantor cuya dimensión puedes calcular contando cajas.
2) Recuerda que cuando las bandas caóticas se duplican, sus tamaños se escalan como $1/a$ et $1/a^2$ donde $a$ es la segunda constante de Feigenbaum , $a \approx 2.5029$ . Así que el procedimiento se parece a la producción de conjuntos de Cantor porque en cada duplicación se "quita" una parte de la banda anterior. La diferencia es que las nuevas 2 partes más pequeñas no tienen el mismo tamaño como en el conjunto de Cantor.
3) Se supone que a la enésima duplicación se necesita $2^n$ cajas de tamaño $R_n$ para cubrir las bandas. Luego, en el $N+1$ etapa necesitarás $2^{n+1}$ cajas de tamaño medio $$ R_{n+1} = \frac{R_n}{2}\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{a²}\right). $$ La parte de la mano es la media aritmética porque no hay ninguna razón rigurosa para usarla pero se ve la idea de aproximación.
4) La dimensión de recuento de cajas es entonces $$D_b = - \frac{\log 2}{\log(1/2(1/a + 1/a²))} = 0.544$$
Admitirá que el movimiento de manos no fue tan malo porque uno no está lejos del valor mucho más rigurosamente derivado de $0.538$ .
Como observación particular, el conteo de cajas no es muy práctico cuando el atractor no es estrictamente auto similar como por ejemplo el conjunto de Cantor porque los resultados dependen entonces de las particularidades del método de cobertura elegido
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Nunca he oído que los fractales sean importantes para la física. ¿Qué sentido tiene esta pregunta?
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@KaziarafatAhmed Seguro que has oído hablar de la teoría del caos. Pues bien, una gran importancia para la física es que los fractales están muy relacionados con el caos en muchos casos. Así que esta pregunta viene muy a cuento.
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@KaziarafatAhmed Los fractales son importantes en la física. Busca la mariposa de Hofstadter. El primer fractal encontrado en la física :) No obstante, propongo un traslado de este post a las matemáticas. Saludos.
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@KaziarafatAhmed las dimensiones fractales se utilizan en algunos modelos de intermitencia en la teoría de la turbulencia, donde también aparecen las dimensiones de Hausdorff.
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Creo que deberías publicarlo en el SE de matemáticas. @GuySoft
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Acabo de hablar con mi física profesor de hoy. Aparentemente se puede hacer esto usando la dimensión de correlación. Estoy leyendo sobre ello y espero publicar una respuesta. Hay un documento sobre cómo hacerlo aquí
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@KaziarafatAhmed: Y CDT...
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¿qué es el CDT? @DImension10AbhimanyuPS
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@KaziarafatAhmed: eswp.org/Causal_dynamical_triangulation