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Calcular/estimar la dimensión fractal del mapa logístico

Esto es el mapa logístico :
. Image of bifurcation diagram of the logistic map
Se trata de un fractal, como algunos sabrán aquí.
Tiene un Dimensión fractal Hausdorff de 0,538 .
¿Es posible calcular/medir su dimensión fractal utilizando el conteo de cajas ¿método?
Un "cálculo con la mano" es suficiente.

Actualización: Tengo entendido que hay otra forma de calcular el mapa logístico utilizando el Conjetura de Kaplan-Yorke . ¿Alguien puede explicar eso y cómo puede ayudar a calcular la dimensión fractal del mapa logístico?

Actualización2: Parece que la forma de evitar esto no es la conjetura de Kaplan-Yorke (que es una conjetura no probada todavía), sino usar la dimensión de correlación . Hay un papel con la solución aquí , espero saber más a medida que lo vaya leyendo.

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Nunca he oído que los fractales sean importantes para la física. ¿Qué sentido tiene esta pregunta?

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@KaziarafatAhmed Seguro que has oído hablar de la teoría del caos. Pues bien, una gran importancia para la física es que los fractales están muy relacionados con el caos en muchos casos. Así que esta pregunta viene muy a cuento.

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@KaziarafatAhmed Los fractales son importantes en la física. Busca la mariposa de Hofstadter. El primer fractal encontrado en la física :) No obstante, propongo un traslado de este post a las matemáticas. Saludos.

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Stan Won Puntos 624

Sí, puede estimar la dimensión contando las cajas. No es del todo un movimiento de manos, pero la idea tiene la ventaja de ser intuitiva.

1) Consideras el atractor del mapa logístico como una analogía de un conjunto de Cantor cuya dimensión puedes calcular contando cajas.

2) Recuerda que cuando las bandas caóticas se duplican, sus tamaños se escalan como $1/a$ et $1/a^2$ donde $a$ es la segunda constante de Feigenbaum , $a \approx 2.5029$ . Así que el procedimiento se parece a la producción de conjuntos de Cantor porque en cada duplicación se "quita" una parte de la banda anterior. La diferencia es que las nuevas 2 partes más pequeñas no tienen el mismo tamaño como en el conjunto de Cantor.

3) Se supone que a la enésima duplicación se necesita $2^n$ cajas de tamaño $R_n$ para cubrir las bandas. Luego, en el $N+1$ etapa necesitarás $2^{n+1}$ cajas de tamaño medio $$ R_{n+1} = \frac{R_n}{2}\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{a²}\right). $$ La parte de la mano es la media aritmética porque no hay ninguna razón rigurosa para usarla pero se ve la idea de aproximación.

4) La dimensión de recuento de cajas es entonces $$D_b = - \frac{\log 2}{\log(1/2(1/a + 1/a²))} = 0.544$$

Admitirá que el movimiento de manos no fue tan malo porque uno no está lejos del valor mucho más rigurosamente derivado de $0.538$ .

Como observación particular, el conteo de cajas no es muy práctico cuando el atractor no es estrictamente auto similar como por ejemplo el conjunto de Cantor porque los resultados dependen entonces de las particularidades del método de cobertura elegido

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La constante de Feigenbaum es 4,669... Tus cálculos no funcionan. $$1/2 \cdot (1/a+1/a^2)=0.130...$$ El resultado es un valor de $0.339...$ Es mejor usar sólo $$1/a$$ y obtener una estimación de $0.449$ .

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Zach466920 Puntos 400

Como el número de bifurcaciones llega al infinito, podemos hacer algunas afirmaciones diversas.

$$d_f={{\ln(N)} \over {\ln(s)}}$$ Donde $d_f$ es la dimensión fractal, N es el número de cajas y s es la escala.

(Examinar $N\sim s^{d_f}$ para obtener lo anterior)

$$N=2^n$$ Y $$s \sim {\delta_f}^n$$ Donde $\delta_f$ es la constante de Feigenbaum.

Obtenemos, en el límite...

$$d_f \sim { {\ln(2)} \over {\ln(\delta_f)}}=0.4498...$$

Que tiene alrededor de un 16% de error respecto al valor empírico de 0,538...

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0,538... no es empírico, está calculado. Es la dimensión de Hausdorff. Ni siquiera es una buena aproximación si se tiene en cuenta el recuento de cajas.

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@GuySoft impar, que no tienes un valor exacto entonces...de todas formas, mi aproximación es mejor que la anterior.

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@GuySoft por cierto el propio enlace que das cita la dimensión como aproximada y calculada y no exacta....

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