Es cada integral epimorphism de anillos conmutativos surjective?

Question

Esa es la pregunta. Recordemos que una de morfismos $f\colon A\to B$ conmutativa de los anillos es integral si cada elemento en $B$ es la raíz de un monic polinomio con coeficientes en la imagen de $A$ y $f$ es un epimorphism si y sólo si la multiplicación de mapa de $$B\otimes_A B\to B$$ es un isomorfismo.

Si hacemos la suposición adicional de que $B$ es finitely genera como una $A$-álgebra, entonces es cierto. Esto puede ser demostrado por Nakayama del lexema, por ejemplo.

Esto ocurrió no hace mucho tiempo cuando yo estaba tratando de demostrar que el Witt vector functor (de longitud finita) conserva separatedness algebraico de los espacios. En esta aplicación que fue capaz de reducir las cosas a la finitely generado caso y por lo tanto podría utilizar el más débil de la declaración anterior, pero todavía me pregunto sobre el caso general.

Answer 1

Si no me equivoco, hay un contra-ejemplo. Eche un vistazo a Lazard la segunda contra-ejemplo en: "Deux mechants contre-exemples" en Seminario de Samuel, Algèbre conmutativa, 2, 1967-1968.

Para cualquier campo $k$, Lazard proporciona una no-surjective epimorphism de locales $k$-álgebras $C\to D$, tanto de Krull de dimensión cero, y tanto de los residuos de campo igual a $k$. A continuación, es fácil mostrar que $D$ es también parte integrante de más de $C$, que es lo que necesitamos aquí. De hecho, todos los $d\in D$ puede ser escrito como $d=a+b$ con $a\in k$ e $b$ en el máximo ideal (primer y único) de $D$, que por lo tanto es nilpotent $b^n=0$, por lo tanto trivialmente integral. Desde $a\in k$ es también en $C$, nuestra $d$ es la suma de dos elementos esenciales. (O, simplemente, $D$ es $k$-álgebra, por lo tanto, una $C$-álgebra generada por nilpotent, por tanto, parte integrante de los elementos.)

En efectivo, para aquellos que no quieren clic, los anillos se construyen como sigue: Considerar el anillo local en countably muchos pares de variables $S=(k[X_i,Y_i]_{i\geq 0})_M$ localizada en $M=\langle X_i,Y_i\rangle_{i\geq0}$. Para cada $i\geq 0$ elegir un número entero $p(i) > 2^{i-1}$. Definir $J=\langle Y_i-X_{i+1} Y_{i+1}^2 \ ,\ X_i^{p(i)}\rangle_{i\geq0}\subset S$ y definen $D=S/J$. Nota de inmediato que $D$ es un local $k$-álgebra, por ejemplo, con ideal maximal $m$ y con residuo de campo $D/m\cong S/M\cong k$. Finalmente, se define el $C$ a ser la localización (en $C_0\cap m$) de la subalgebra $C_0:=k[x_i,x_iy_i]_{i\geq 0}\subset D$ cuando la $x_i$ son las clases de la $X_i$ en $D$, y permiten adivinar lo que el $y_i$ son. Por construcción, el residuo campo de $C$ es una extensión de $k$, que también es un subcampo de la $D/m=k$, por lo que el residuo campo de $C$ debe $k$ y estamos en el anunció de la situación.

Answer 2

Si $A$ es noetherian, luego cada integrante epimorphism $f \colon A \to B$ es surjective. Esto ha sido demostrado por Ferrand: Prop. 3.8 en Monomorphismes de schémas noethérien", Exp. 7 en Séminaire Samuel, Algèbre conmutativa, 2, 1967-1968. Por regímenes, esto se conoce como:

Teorema: Vamos a $f \colon X \to Y$ ser una de morfismos de los esquemas que $Y$ es localmente noetherian. A continuación, $f$ es un cerrado de inmersión si y sólo si $f$ es universalmente cerrado monomorphism.

(Puede ser visto universalmente cerrado inyectiva de morfismos de los esquemas es afín e integral [EGA IV, 18.12.10], por lo que el esquema de la versión es equivalente a la afín versión).

En Ferrand del teorema, también se puede reemplazar $X$ e $Y$ algebraicas espacios: De hecho, la pregunta es local en $Y$, por lo que podemos asumir que $Y$ es un esquema. Desde $f$ ha afín fibras y es universalmente cerrado, se sigue que $f$ es afín por arXiv:0904.0227 Thm 8.5.

PS. ¿Cómo es que usted necesita esta pregunta para los no-finito morfismos para su aplicación a los vectores de Witt? Si la diagonal de un algebraica de espacio es universalmente cerrado monomorphism entonces (desde la diagonal de una expresión algebraica el espacio siempre es localmente finito de tipo), es apropiado monomorphism, por lo tanto, un cerrado de inmersión ([EGA IV 18.12.6]). En particular, se sigue que, si $f \colon X \to Y$ es universalmente cerrado y surjective y $X$ es separado, entonces también lo es $Y$. Tal vez esto era lo que se entiende por "reducir las cosas a la finitely generado caso"?

Answer 3

Primero asuma $A \subset B$, ya que las nociones de surjectivity, epimorphism e integral de morfismos todo depende sólo de la imagen de $A$ en $B$.

Entonces podemos asumir que $A$ e $B$ son locales y que la inclusión es un local homomorphism. De hecho, la inclusión será surjective si y sólo si $A_P \subset B_P$ es surjective para todos los números primos $P \subset A$. Podemos encontrar un primer $Q$ de % de $B$ tal que $Q \cap A = P$ debido a que la extensión es integral; por lo que si se demuestra que para todos los pares de $A_P \subset B_Q$ es surjective hemos terminado. La inclusión $A_P \subset B_Q$ es fácilmente visto todavía y epimorphism.

Noww asumen $A$ e $B$ son locales y la inclusión es un local homomorphism; suponga $A$ no $B$.

EDIT: La siguiente es malo (véase Brian comentario).

Deje $K$ e $L$ el residuo de campo, $M \supset L$ cualquier campo de tener un automorphism $\sigma$ sobre $K$ que es trivial sobre $L$. Deje $g \colon B \to M$ la composición de la $B \to L \to M$.

A continuación, $\sigma \circ g$ e $g$ son dos diferentes homomorphisms $B \to M$ que está de acuerdo en $A$, contradiciendo la hipótesis de que la $A \subset B$ es un epimorphism.