Intuición acerca de las $\mathrm{Spec}\mathbb{C}[[t]]$ frente al $\mathrm{Spf}\mathbb{C}[[t]]$ frente al $\mathrm{Specan}\mathbb{C}[[t]]$ (y otros objetos)

Question

El primero $\mathrm{Spec}\mathbb{C}[[t]]$ es un esquema, el segundo $\mathrm{Spf}\mathbb{C}[[t]]$ es un esquema formal. En mi mente de que ambos se dan cuenta de un "infinito orden infinitesimal de vecindad de un punto en $\mathbb{A}^1_{\mathbb{C}}$ ". La "formal disco" es un aumento de límite finito de orden infinitesimal de los barrios; muy parecido a un aumento de la unión de cerrado subschemes que son engrosamientos de la reducción de punto. ¿Cómo debo pensar en los demás? Así

¿Cuál es la diferencia entre estos objetos, de forma intuitiva? Cómo son estos objetos relacionados con el hecho de que $\mathbb{C}[[t]]$ realidad lleva un adic topología? ¿Qué es cada uno de ellos adecuado para? Cuando "usar" uno y cuando el otro(s)?

Por supuesto, la misma pregunta se podría pedir la sustitución de $\mathbb{C}[[t]]$ con cualquier local completo anillo de $A=\hat A$.

Answer 1

En pocas palabras:

• $\mathrm{Spec}~\mathbb{C}[[t]]$ Es un "rasgo", es decir, el espectro de una discreta valoración de dominio, con un genérico (abierto) punto y un punto cerrado. Puede ser imaginado como un refinamiento de la habitual algebraicas germen de la afín a la línea en el origen, es decir, $\mathrm{Spec}~\mathbb{C}[t]_{\langle t \rangle}$.
• $\mathrm{Spf}~\mathbb{C}[[t]]$ es la culminación de $\mathbb{A}^1_{\mathbb{C}}$ a lo largo de la de origen. Esto se interpreta como la unión de todos los infinitesimales barrios de el origen de la línea. Como tal, es estrictamente contenida en cualquier espacio de gérmenes: hay una cadena de la canónica de morfismos $$\mathrm{Spf}~\mathbb{C}[[t]] \to \mathrm{Spec}~\mathbb{C}[[t]] \to \mathrm{Spec}~\mathbb{C}[t]_{\langle t \rangle}$$
• $\mathrm{Specan}~\mathbb{C}\{t\}$ donde $\mathbb{C}\{t\}$ denota el anillo local de convergente de alimentación de la serie en el origen representa la analítica germen de $\mathbb{C}$ en el origen, generalmente denotado $(\mathbb{C}, 0)$. También se encuentra entre las $\mathrm{Spf}~\mathbb{C}[[t]]$ e $\mathrm{Spec}~\mathbb{C}[t]_{\langle t \rangle}$.

La topología en la gavilla de los anillos de $\mathrm{Spf}~\mathbb{C}[[t]]$ es responsable de su parte oculta. Si en lugar de $\mathbb{C}$ uno toma un ultrametric campo, entonces el quimérico "genérico de la fibra" sería un modelo para la rigidez de la analítica disco cerrado. Para $\mathbb{C}$ uno no tiene algo así como la valoración completa sub-anillo de jugar el papel de $p$-ádico enteros para $\mathbb{Q}_p$.

Answer 2

Una buena manera de ver la diferencia entre los $\mathrm{Spec}\,\mathbb{C}[[t]]$ e $\mathrm{Spf}\,\mathbb{C}[[t]]$ es mirar lo que functors que representan sobre afín esquemas. De hecho, tenemos $$\mathrm{Hom}(\mathrm{Spec}\,A,\mathrm{Spec}\,\mathbb{C}[[t]])=\mathrm{Hom}(\mathbb{C}[[t]],A)$$ Esto es sólo el ordinario morfismos de anillos, y no es particularmente diferente de cualquier mapa de un DVR en $A$.

$$\mathrm{Hom}(\mathrm{Spec}\,A,\mathrm{Spf}\,\mathbb{C}[[t]])=\mathrm{colim}_n\mathrm{Hom}(\mathbb{C}[t]/(t^n),A)=\{a\in A\mid a\textrm{ nilpotent }\}$$ De manera más general, cuando en lugar de $\mathrm{Spec}\,A$ ponemos cualquier esquema de $X$, obtenemos el mundial secciones de $X$ que son localmente nilpotent (es decir, nilpotent cuando restringida sobre afín a los planes).

En este sentido se puede pensar de $\mathrm{Spf}\,\mathbb{C}[[t]]$ como la realización de $\mathrm{Spec}\,\mathbb{C}[t]$ el origen: los mapas en $\mathrm{Spf}\,\mathbb{C}[[t]]$ son la misma cosa, como los mapas en $\mathrm{Spec}\,\mathbb{C}[t]$ cuyo conjunto de la teoría de la imagen (contenido en) el origen.

Tenga en cuenta que esto funciona para todos los afín planes oficiales: si $R$ es un anillo y $I$ un ideal, $\mathrm{Spf}\,R^\wedge_I$ representa el functor el envío de $X$ a los mapas de esquemas $X\to \mathrm{Spec}\,R$ tal que el conjunto de la teoría de la imagen se encuentra en $V(I)$.

Answer 3

Para complementar las otras respuestas, me gustaría añadir una palabra en la analítica del espectro de $\mathrm{Specan}(\mathbb{C}[[t]])$.

En primer lugar, permítanme decir que no estoy seguro de lo $\mathrm{Specan}$ medios y no tienen idea de donde la notación viene. Por otro lado, tiene sentido considerar la analítica espectro de $\mathbb{C}[[t]]$ en R. Huber de la teoría de la adic analítica espacios (donde se le $\mathrm{Spa}(\mathbb{C}[[t]],\mathbb{C}[[t]])$) y en V. Berkovich la teoría de la analítica de los espacios (donde se le $\mathcal{M}(\mathbb{C}[[t]])$ ; también la necesidad de prescribir el absoluto de $t$, decir $|t| = r \in (0,1)$, debido a que la teoría requiere reales valores absolutos y no meramente de clases de equivalencia, es decir, las valoraciones, pero esto no es realmente un problema).

Permítanme comenzar con adic espacios. En este caso, el espectro es un punto cerrado ($t=0$) y uno de punto abierto (asociada a la $t$-ádico de valoración). Este punto abierto es realmente el punto genérico del espacio. Más generalmente, se puede asociar (totalmente fielmente) un adic espacio para cualquier suficientemente agradable esquema formal y tomar el genérico de la fibra dentro de la categoría de adic espacios. Así que aquí usted realmente tiene el esquema formal de nuevo, pero, en el espacio subyacente, usted puede ver la fibra especial y sus genéricos de la fibra (a diferencia de lo $\mathrm{Spf}(\mathbb{C}[[t]])$ sólo muestra el especial de fibra).

(Todo lo que aquí se ve muy similar a $\mathrm{Spec}(\mathbb{C}[[t]])$, por lo que uno puede preguntarse ¿por qué molestarse con planes oficiales, la fantasía de la analítica de espacios, etc. Este es un sólo porque el elegido situación es muy simple (afín en particular) y usted tendrá un tiempo difícil que representan infinitesimal barrios por algebraicas objetos muy rápidamente tan pronto como se inicie la aplicación de adhesivo.)

La situación con Berkovich espacios es muy similar, excepto que usted va a ver un segmento de $[0,r]$ en lugar de dos puntos. El punto de $0$ corresponde a $t=0$ y el resto de los puntos corresponden todos a $t$-ádico valores absolutos con diferentes normalizaciones (dado por $|t| = s$ para $s\in (0,r]$). Aquí, de nuevo, a ver una fibra especial y un genérico de fibra (e incluso varias copias equivalentes de ella). Tenga en cuenta que el subyacente es espacio de Hausdorff compacto. Esta es una característica general de Berkovich espacios que es bastante agradable, aunque no está claro cuán útil sería en esta situación particular.