no isomorfos de forma estable isomorfo campos

Question

P1: ¿Qué es el ejemplo más sencillo de los dos no es isomorfo campos de $L$ e $K$ de los característicos $0$ tal que $L(x)\simeq K(x)$ (aquí se $x$ es un indeterminado)?

Q2: ¿tenemos suficiente criterio para un campo general $K$ de los característicos $0$, lo que garantiza que si $K(x_1,\ldots,x_n)\simeq L(x_1,\ldots, x_n)$ (aquí se $L$ es un campo y la $x_i$'s son indeterminates), a continuación,$K\simeq L$?

Answer 1

No creo que no son realmente de fácil ejemplos. En el famoso artículo de Beauville, Colliot-Thélène, Sansuc y Swinnerton-Dyer "Variétés stablement rationnelles no rationnelles" construcción de superficies de $S$ sobre $\mathbb Q$ que no son racionales, pero tales que los productos de $S \times \mathbb P^3$ son racionales. Usted obtiene un ejemplo tomando $K$ a ser puramente trascendental de la extensión de la función de campo de $S$ de la trascendencia grado $d$, y una puramente trascendental extensión de $\mathbb Q$ de la trascendencia grado $d+2$, para algunas de las $d$ entre $0$ e $3$ (no sé el valor correcto de $d$).

Answer 2

Una respuesta a la Q2, la generalización de Ralph comentario: "$K$ es algebraicamente cerrado" es una condición suficiente. De hecho, usted puede caracterizar $K$ dentro $K(x_1,\dots,x_n)$ como el conjunto de elementos que tienen $m$-th raíces infinitamente muchos enteros $m$. Más generalmente, es suficiente para suponer que para algunos $m>1$, la $m$-th mapa de poder en $K$ es sobre. Ejemplos: $K$ perfecto de característica positiva, o $K=\mathbb{R}$.