Motivic Cohomology vs Chow para singular variedades?

Question

Soy absolutamente nuevo en esto de cosas en las que estoy pidiendo, así que espero que esto no es una tontería.

Si X es un buen esquema de más de un perfecto campo k, puedo estudiar su motivic cohomology en el sentido de Voevodsky y Morel. Más precisamente, a la $\mathbb{Z}$ no está asociado a un Eilenberg-MacLane T-Espectro. Voy a escribir $H^{p,q}(X,\mathbb{Z})$ para el motivic cohomology de $X$ definido por Hom en este Espectro.

Un dato para suavizar $X$ ahora es que $$ H^{2p,p}(X,\mathbb{Z}) = CH^p(X). $$

Ahora tengo dos preguntas:

1) ¿puedo alimentar a algo singular en este Voevodsky-Morel máquina?

2)Si la respuesta a 1 es sí, hay algunos mapas de $ H^{2p,p}(X,\mathbb{Z})$ a $CH^p(X)$? Tal vez definido por algunos espectral de la secuencia? Estoy muy interesado solo en algunos mapas, no isomorphisms.

Answer 1

La respuesta a la pregunta 1), es que sí. Sin embargo, Chow grupos no forman lo que podríamos llamar un cohomology de la teoría, sino que son parte de un Borel-Moore homología de la teoría. Esta ambigüedad proviene del hecho de que, por la dualidad de Poincaré, motivic cohomology de acuerdo con motivic Borel-Moore homología suave de los esquemas (hasta algunos indexar), mientras que son bastante diferentes de los esquemas. Usted tiene el mismo fenómeno en la K-teoría: K-teoría de vector de paquetes (que define un tipo de cohomology) está de acuerdo con la K-teoría coherente de las poleas (que define el correspondiente Borel-Moore homología) para regular los esquemas. Dicho esto, que son un montón de maneras de extender motivic cohomology en un cohomology la teoría en la que, posiblemente, no singular esquemas; todos están de acuerdo en char. 0, o si usted trabaja con coeficientes racionales. Como usted parece estar interesado por Chow grupos, parece que lo que quiere es motivic Borel-Moore homología para, posiblemente, no singular de los programas (lo cual está de acuerdo con Bloch superior de Chow grupos, donde se da la clásica Chow grupos para el grado apropiado).

Para definir motivic Borel-Moore homología de $X$ (con un intervalo finito de tipo a través de un campo de $k$ de char. 0, a menos que el tensor de todo por $\mathbf{Q}$, o admitir la resolución de singularidades en char. $p$), que puede proceder de la siguiente manera: hay un motivo con soporte compacto $M_c(X)$ en $DM(k)$, y definimos

$H^{BM}_i(X,\mathbf{Z}(j))=Hom_{DM(k)}(\mathbf{Z}(j)[i],M_c(X)).$

Si prefieres las seis operaciones de versión, para $f:X\to Spec(k)$ a (separados) de morfismos de finito tipo, tenemos

$H^{BM}_i(X,\mathbf{Z}(j))\simeq Hom_{SH(k)}(f_!f^*\Sigma^\infty(Spec(k)_+)(j)[i],H\mathbf{Z})$

donde $H\mathbf{Z}$ denota la motivic Eilenberg-MacLane espectro en $SH(k)$. Para responder a su pregunta 2), el vínculo con Bloch superior de Chow grupos es que

$H^{BM}_i(X,\mathbf{Z}(j))\simeq CH^{d-j}(X,i-2j)$

para $X$ equidimensional de dimensión $d$, y de que, por cualquier separados $k$-esquema de $X$,

$H^{BM}_{2j}(X,\mathbf{Z}(j))\simeq A_j(X)$

donde $A_j(X)$ representa al grupo de $j$-dimensiones ciclos en $X$, modulo racional de equivalencia.