¿Cómo demostrar esta versión algebraica de la ley del seno?

Question

Cómo resolver el siguiente problema de Hall y Knight Álgebra superior ?

Supongamos que \begin{align} a&=zb+yc,\tag{1}\\ b&=xc+za,\tag{2}\\ c&=ya+xb.\tag{3} \end{align} Demostrar que $$\frac{a^2}{1-x^2}=\frac{b^2}{1-y^2}=\frac{c^2}{1-z^2}.\tag{4}$$

(Supongo que $x,y,z$ son números reales cuyos módulos no son iguales a $1$ .)

Descubrí este problema a partir del capítulo 3 de Preludio a las matemáticas por W. W. Sawyer. Sawyer pensaba que este problema surgía de la ley del seno: dejemos $a,b,c$ sean respectivamente las longitudes de las aristas opuestas a tres vértices $A,B,C$ de un triángulo. Definir $x=\cos A$ y definir $y,z$ análogamente. Ahora las igualdades $(1)-(3)$ simplemente relacionar $a,b$ y $c$ entre sí por los cosenos de los ángulos y $(4)$ es sólo una reescritura de la ley del seno $$ \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}. $$ Sin embargo, la versión algebraica $(4)$ parece más general. Por ejemplo, no dice que $a,b,c$ deben ser positivos o que deben satisfacer la desigualdad del triángulo.

Sawyer escribió que no es un problema difícil, pero no aportó ninguna solución. Puedo probar $(4)$ utilizando el álgebra lineal. Supongamos que $(a,b,c)\ne(0,0,0)$ (por lo demás $(4)$ es evidente). Reescritura $(1)-(3)$ en forma de $M\mathbf a=0$ : $$\begin{bmatrix}-1&z&y\\ z&-1&x\\ y&x&-1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a\\ b\\ c\end{bmatrix}=0.$$ Desde $x^2,y^2,z^2\ne1$ , $M$ tiene rango $2$ y $D=\operatorname{adj}(M)$ tiene rango $1$ . Por lo tanto, todas las columnas de $D$ son paralelos a $(a,b,c)^T$ y $\frac{d_{11}}{d_{21}}=\frac{d_{12}}{d_{22}}=\frac{a}{b}$ . Desde $M$ es simétrica, $D$ también es simétrica. Por lo tanto, $\frac{1-x^2}{1-y^2}=\frac{d_{11}}{d_{22}}=\frac{d_{11}d_{12}}{d_{21}d_{22}}=\frac{a^2}{b^2}$ es decir $\frac{a^2}{1-x^2}=\frac{b^2}{1-y^2}$ .

Como este problema proviene del libro de Hall y Knight, creo que debería haber una solución más elemental. ¿Alguna idea?

Answer 1

Dejemos que $a=0$ .

Así, $$xc=b$$ y $$xb=c,$$ que da $$x^2bc=bc$$ o $$(x^2-1)bc=0$$ y como $x^2\neq1,$ obtenemos $bc=0$ y desde aquí $$a=b=c=0,$$ lo que da que nuestra afirmación es verdadera.

Dejemos que $abc\neq0$ .

Así, $$\frac{zb}{a}+\frac{yc}{a}=1$$ y $$\frac{xc}{b}+\frac{za}{b}=1,$$ que da $$z^2+\frac{xyc^2}{ab}+\frac{xzc}{a}+\frac{yzc}{b}=1$$ o $$\frac{1-z^2}{c^2}=\frac{xy}{ab}+\frac{yz}{bc}+\frac{zx}{ca},$$ que da $$\frac{a^2}{1-x^2}=\frac{b^2}{1-y^2}=\frac{c^2}{1-z^2}=\frac{1}{\frac{xy}{ab}+\frac{yz}{bc}+\frac{zx}{ca}}.$$

Answer 2

Resulta que he resuelto las ecuaciones para las variables equivocadas. Si reescribo $(1)-(3)$ como $$\begin{bmatrix}0&c&b\\ c&0&a\\ b&a&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\ y\\ z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a\\ b\\ c\end{bmatrix}$$ y resolver para $x,y,z$ en su lugar, obtendré la ley de los cosenos, es decir $$x=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$$ etc. Por lo tanto, $$\frac{a^2}{1-x^2}=\frac{4a^2b^2c^2}{2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)-(a^4+b^4+c^4)}.$$ Como ha señalado Roman Odaisky, esta expresión puede reescribirse como $\frac{a^2b^2c^2}{4s(s-a)(s-b)(s-c)}$ , donde $s=\frac12(a+b+c)$ . Por simetría, $\frac{b^2}{1-y^2}$ y $\frac{c^2}{1-z^2}$ también son iguales a la misma expresión. Geométricamente (y según la fórmula de Heron), esto significa que la razón común en la ley de los senos es igual a $\frac{abc}{2T}$ donde $T$ es el área del triángulo.

Answer 3

Podemos escribir

I) $z=\frac{a-yc}{b}$ de (1)

Ahora, multiplicando $y$ en ambos lados de (3) obtenemos $yc=y^2a+xyb$ .

Así, a partir de I) obtenemos $\frac{a-ay^2}{b}-xy=z$ .....(1')

Del mismo modo, a partir de la ecuación (2) obtenemos

II) $z=\frac{b-xc}{a}$ de (2)

Ahora, multiplicando $x$ en ambos lados de (3) obtenemos $xc=xya+x^2b$ .

Y obtenemos de (2) $\frac{b-bx^2}{a}-xy=z$ .....(2')

De (1') y (2') obtenemos,

$\frac{a-ay^2}{b}=\frac{b-bx^2}{a} \rightarrow \frac{a^2}{1-x^2}=\frac{b^2}{1-y^2}$ .

De la misma manera, $\frac{a^2}{1-x^2}=\frac{c^2}{1-z^2}$

Así que, en última instancia, hemos demostrado $\frac{a^2}{1-x^2}=\frac{b^2}{1-y^2}=\frac{c^2}{1-z^2}$

Supongamos, $b=0$ entonces $\frac{a}{c}=y=\frac{c}{a}$ o $y=1$ . Así que, $\frac{b^2}{1-y^2}$ será indefinido.

Si también $c=0$ entonces $a=0$ .

Answer 4

Por (1) y (3), $a=ay^2 + bxy +bz.$ Así, $a(1-y^2)=b(xy+z)$ para que $$a^2(1-y^2)=ab(xy+z).$$ De forma similar, derivamos de (2) y (3) que $$b^2(1-x^2)=ab(xy+z).$$ Por lo tanto, los lados izquierdos de las dos ecuaciones mostradas son iguales, dando lugar a la primera igualdad en (4). Por simetría, hemos terminado.

IOW reemplazar $(a,c)$ por $(c,a)$ y $(x,z)$ por $(z,x)$ arriba.