Cohen reales y fuertes conjuntos de medida cero

Question

Un conjunto de reales $X$ es $\textit{strong measure zero}$ si por cualquier secuencia de números reales $ ( \epsilon_n ) _{n \in \omega }$ hay una secuencia de intervalos abiertos $ ( a_n ) _{n \in \omega }$ que cubre $X$ y tales que cada una de las $ a_i $ tiene una longitud de menos de $ \epsilon _i $.

El Borel Conjetura (BC) es la declaración de que el conjunto de los reales es fuerte medida cero iff es contable. (Es fácil ver que cualquier contables conjunto es fuerte medida cero, entonces BC dice que no hay incontables fuerte conjuntos de medida cero.)

He oído en alguna parte que la adición de un Cohen real necesariamente destruye la BC, es decir, si $x$ es un Cohen real sobre$V$,, a continuación,$V[x] \models \neg BC$. Puedo ver por qué esto es cierto para la adición de $\omega_1$ Cohen reales: para cualquier $\epsilon$-secuencia en el modelo de terreno, y toda la multitud innumerable de reales $X$ en el modelo de terreno (que aún está en incontables después de la ccc, obligando a), se puede utilizar una sola Cohen real de forma genérica elegir intervalos pequeños, que cubrirá $X$ mientras se mantiene dentro de los límites de la $\epsilon$-secuencia. Así que cuando añadimos $\omega_1$ Cohen reales sucesivamente, cada $\epsilon$-secuencia se muestra en algunos de los contables de la etapa, y en la siguiente etapa que la creación de la correspondiente tapa para $X$. Por lo tanto $X$ va a ser fuerte medida cero en el forzamiento de la extensión. Pero aquí estamos usando el hecho de que todos los $\epsilon$-secuencia se muestra en algún momento, que luego procedemos a la fuerza con un Cohen real; y que no será verdadero si sólo añadir una sola Cohen real.

Así que mi pregunta es: ¿la adición de una sola Cohen real necesariamente destruir BC?

Y, más en general: después de la adición de una sola Cohen real, ¿qué podemos decir acerca de "el conjunto de todos los reales de la planta modelo"? Es escaso? Medida cero? ¿Contiene ninguna perfecta conjuntos?

Answer 1

(Un intento de respuesta, y también mi primera publicación aquí. Gracias a Andrés Caicedo para el reformateo.)

Yo reclamo que una sola Cohen real que hace que el conjunto de old reales fuertes medida cero. Reales son funciones de $\omega$ a 2.

Deje ${\mathbb C}$ ser Cohen forzar, y deje $c$ ser el nombre genérico es la real.

Deje $(n_k)$ ser una secuencia de ${\mathbb C}$-nombres para los números naturales. Voy a encontrar una secuencia $(s_k)$ de los nombres de las finito $01$-secuencias ($s_k$ de la longitud de la $n_k$) tal que ${\mathbb C}$ fuerzas: cada edad real es, en cierto $[s_k]$.

Deje $D_k$ ser un denso conjunto abierto de decidir el valor de $n_k$ y contiene sólo las condiciones de la longitud de, al menos,$k$. Decir, cada una de las $q$ en $D_k$ decide que el valor de $n_k$ es $f_k(q)$, donde $f_k$ es una función en el modelo de terreno definido en $D_k$. Cada una de las $f_k$, y también la secuencia de $(f_k)$, es en $V$.

Ahora trabajamos en la extensión. (El punto es que aunque ahora sabemos que los valores reales de $n_k$, vamos a jugar tonto y el uso de los nombres solamente, además de la mínima la cantidad de información que necesitamos de los genéricos real. Esto nos permite medir exactamente la cantidad de información de la genérico necesitamos.)

En la extensión voy a definir una secuencia $(i_k)$ de los números naturales. Deje $i_k$ ser la mínima $i$ tal que $c \mathord\upharpoonright i$ es de $D_k$, donde $c\mathord\upharpoonright i = c$ restringido a $i$. (Por lo $i_k$ al menos $k$.)

Para cada una de las $k$ ahora podemos definir una $01$-secuencia $s_k$ de la longitud de la $n_k$ como sigue: Tome $n_k$ los sucesivos bits de los Cohen real $c$, a partir de la posición $i_k$. (Formalmente: $s_k(j) = c(i_k+j)$ para todos los $j\lt n_k$.)

Yo afirmación de que "cada edad real es, en cierto $[s_k]$" es forzado. Supongamos que no, así que vamos a $p$ fuerza que $x$ no está cubierto. Deje $k$ ser mayor que la longitud de $p$. Por lo $p$ no $D_k$. Extender $p$ a$q$, de modo que $q$ está en $D_k$, $q$ mínimo. Deje $l$ ser la longitud de la $q$. Por lo $q$ fuerzas que $i_k$ es exactamente $l$. También se $q$ fuerzas que $n_k = f_k(q)$. Ahora extender $q$ a $q'$, el uso de la primera $f_k(q)$ bits de $x$. Por lo $q'$ es más fuerte que el $q$, e $q'$ fuerzas que $s_k$ es una inicial segmento de $x$.

mg*

Answer 2

Andy:

Una buena referencia para que tu preguntas es "Consecuencias de la adición de Cohen reales" de J. Steprans, en la "Teoría de los reales", Judá ed., La Universidad Bar-Ilan, 1993, pp 583-617. Otra referencia es el excelente libro "la teoría de conjuntos: en la estructura de la línea real" por Bartoszynski y de Judá.

La adición de un Cohen real hace que el modelo de terreno de reales tienen medida cero. Lo he dicho en otra respuesta, y es similar a lo que escribes en tu post. Brevemente: Cualquier trivial contables obligando noción es equivalente a Cohen. Por ejemplo, fix $\epsilon>0$ y deje ${\mathbb P}_\epsilon$ ser la colección de subconjuntos $A$ de % de ${\mathbb R}$ que son finitos de la unión de intervalos abiertos con rational extremos tales que la medida de $A$ es de menos de $\epsilon$. Ordenar por (inversa) la inclusión, este poset es equivalente a Cohen forzar. El genérico es un conjunto abierto de medida $\epsilon$ que cubre el suelo del modelo de reales. Desde $\epsilon$ fue arbitraria, el resultado de la siguiente manera. Steprans del papel contiene una prueba de un fortalecimiento de este hecho.

Por otro lado, el modelo de terreno de reales no son escasos en la extensión. De hecho, la segunda categoría del conjunto de reales en el modelo de terreno es todavía la segunda categoría después de la adición de un Cohen real. (Esto también es demostrado en Steprans del papel).

Por último, es un teorema de Velickovic y Woodin que si $V\subseteq W$ son modelos de la teoría de conjuntos, y para cada contables $X\in W$ con $X\subseteq{\mathbb R}^V$ no es un porcentaje ($Y\in V$ contables en $V$ con $X\subseteq Y$, entonces, si existe un conjunto perfecto que consta de reales de $V$, entonces cada real es de $V$. En particular, el modelo de terreno de reales no puede contener un conjunto perfecto después de la adición de un Cohen real. Para una referencia, consulte Velickovic-Woodin, "la Complejidad de reales en el interior de los modelos de la teoría de conjuntos", Anales de la pura y aplicada de la lógica, 92 (1998), 283-295.

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[Edición: Martin Goldstern ahora ha publicado un buen argumento por una línea más natural de pensamiento que mi enfoque ingenuo.]

Aquí es un boceto de un argumento que yo creo que, si uno se las arregla para carne a cabo, muestran que la adición de un Cohen real hace ${\mathbb R}^V$ ser fuerte medida cero. Por cierto, yo era incapaz de encontrar una mención explícita de este resultado o una prueba en cualquiera de las referencias que he mencionado (o en otro lugar). Fuente del documento original ("Sobre la consistencia de Borel de la conjetura", Acta Math., 137 (1976), no. 3-4, 151-169) sólo menciona de pasada (página 155) que la adición de un Cohen real hace ${\mathbb R}^V$ fuerte medida cero. No puede haber una referencia explícita en la impresión, en realidad.

Tenemos la siguiente propiedad básica de Cohen obligando a:

Si $c$ es Cohen sobre $V$ e $g:\omega\to\omega$ en $V[c]$, entonces no es un $h:\omega\to\omega$ en $V$ tal que $g(n)\lt h(n)$ infinitamente a menudo.

Deje $c$ ser Cohen sobre $V$ y deje $\vec\varepsilon=(\varepsilon_0,\varepsilon_1,\dots)$ ser una secuencia en $V[c]$ de positivos reales. Como se observa, si $\vec\varepsilon\in V$, luego $$ {\mathbb R}\cap V\subseteq \bigcup_n I^n_{c(n)} $$ donde (para todos los $n$) la secuencia de $(I^n_m\mid m<\omega)$ listas (en $V$) todos los intervalos con racional de los extremos y la longitud en la mayoría de las $\varepsilon_n$.

Supongamos ahora que $\vec\varepsilon\in V[c]\setminus V$. Sin pérdida, cada una de las $\varepsilon_m$ tiene la forma $2^{-n_m}$ para algún entero positivo $n_m$, y la sucesión es estrictamente decreciente. Fix $h\in V$ tal que $A=\{m\mid n_m\le h(m)\}$ es infinito.

Para cada una de las $n$, vamos a $(I_{n,m}\mid m\in\omega)$ lista (en $V$) todos los intervalos con racional de los extremos y la longitud en la mayoría de las $2^{-h(m)}$. El argumento de "se reduce" a continuación, para demostrar la clave siguiente hecho:

Un genericity argumento debe demostrar que, de hecho, $$ {\mathbb R}\cap V\subseteq \bigcup_{n\in A}I^n_{c(n)}. $$

Si logramos probar esto, ya que la secuencia de números de $n_m$ va en aumento, hemos terminado.

Tenga en cuenta que otra propiedad básica de Cohen obligando nos da que existe un real $t$ en el modelo de terreno de codificación de un Borel función de $f$ tal que $A=f(c)$. Para hacer que el argumento de la obra, algo más fuerte (como $f$ recursiva con el real $t$ oracle) parece necesario. No veo cómo hacer que el resultado vaya a través de la arbitrarias de Borel $f$.

Answer 3

Aquí es un argumento que muestra que la adición de una sola Cohen reales de los rendimientos de un incontable gran medida la puesta a cero.

En el espíritu de los comentarios anteriores, vamos a $r_n$ para $n\in\omega$ enumerar los racionales. Vamos a Cohen obligando a ser representado por un conjunto finito de funciones parciales de $\omega$ a $\omega$ en virtud de la inclusión y la deje $G$ ser un nombre para la función genérica $G:\omega \to \omega$. Para cualquier par de funciones $f:\omega \to \mathbb N$ e $F:\omega \to \omega$ definir $B(f,F)=\bigcup_{n\in\omega}(r_{G(F(n))} - 1/f(n),r_{G(F(n))} + 1/f(n))$. Es suficiente para mostrar que para cualquier Cohen nombre de $\dot{f}$ hay $F:\omega \to \omega$ tal que es forzoso que el modelo de terreno de reales están contenidas en $B(\dot{f},F)$.

Para este fin, para cada uno de los Cohen condición de $p$ definir $F_p(m)$ a un número entero $k$ que no es: $q:k\to \omega$ tal que $q\supset p$ e $q$ decide un valor de $\dot{f}(m)$. Deje $F:\omega \to \omega$ ser tal que $F\geq^* F_p$ por cada $p$. A ver que es forzoso que $B(\dot{f},F)$ contiene el modelo de terreno de reales deje $p$ ser arbitraria Cohen condición y $x$ un modelo de terreno real. Deje $m$ ser tal que $F(m)>F_p(m)$. Elija $q:k \to \omega$ testigos de que $F_p(m) = k$ y supongamos que $q$ fuerzas de $\dot{f}(m)=j$. Deje $i\in\omega$ ser tal que $x\in (r_i- 1/j,r_i+1/j)$. Deje $q'= q\cup\{(F(m),i)\}$. A continuación, $q'$ fuerzas que $G(F(m))=i$ y que, por ende,$x\in (r_{G(F(m))}- 1/\dot{f}(m),r_{G(F(m))}+1/\dot{f}(m))\subseteq B(\dot{f},F)$.