A principios de cálculo incompatible?

Question

Esta pregunta NO se refiere a que el RIGOR o la falta de ella, de los principios de cálculo. Más bien, la pregunta es de su CONSISTENCIA.

George Berkeley escribió en 1734, con referencia a los principios de cálculo que este método es "una de las más incoherentes manera de argumentar, y como no sería permitido en la Divinidad". Este pasaje es citado por William Dunham en 2004. Dunham concluye: "el Obispo Berkeley había hecho su punto. Aunque los resultados de los cálculos que parecía ser válido ... nada de esto importaba si los cimientos podridos". Consulte la página 72 de http://books.google.co.il/books?id=QnXSqvTiEjYC&source=gbs_navlinks_s

Por otro lado, Pedro Vickers en 2007 desafiado "El omnipresente afirmación de que los principios de cálculo de Newton y Leibniz fue un incoherente teoría" en http://philsci-archive.pitt.edu/3477/ (que pronto aparecerá en forma de libro en la Universidad de Oxford university Press), y concluyó que esto se sostiene solamente en un sentido limitado y sólo puede ser imputado a una pequeña minoría de la comunidad pertinente".

A principios de cálculo consistente tan lejos como la mayoría de los practicantes estaban preocupados, como Vickers impugnada, o que era una de las más incoherentes manera de argumentar, como lo hizo en Berkeley y Dunham?

Nota 1. Berkeley afirmó que el cálculo se basa en una incoherencia que puede ser expresado en notación moderna como $(dx\not=0)\wedge(dx=0)$. Así que él estaba usando el término "incoherente", en tanto el mismo sentido con que se usa en la moderna lógica.

Nota 2. Para una estrechamente relacionados con el hilo, a ver https://math.stackexchange.com/questions/445166/is-mathematical-history-written-by-the-victors

Nota 3. No es un hilo en la historia SE: https://hsm.stackexchange.com/questions/3301

Answer 1

La cuestión no es lo suficientemente precisa para obtener una respuesta definitiva, pero no por la razón de la mayoría de las personas dicen en los comentarios. El problema no radica en el significado ambiguo de la "coherencia" (lo que significa "libre de contradicciones", que era tan claro como ahora), pero en el sentido de "modo de argumentar". Lo que sí tenemos es un corpus de resultados de los fundadores de cálculo (decir de Pascal, Descartes, Fermat, Newton, Leibniz), y un conjunto de argumentos que se utilizan para justificar ellos. El corpus de resultados es sin duda un corpus de verdaderos resultados, por lo que es consistente, y ciertamente fue reconocida como tal, incluso por Berkeley (a mi entender, la primera seria contradicción que implican los resultados de cálculo vino de 150 años después de la fundación período de Cauchy teorema de que un límite de funciones continuas es continua, combinado con contra-ejemplos de la transformada de Fourier de la teoría, por lo que está completamente fuera de nuestro alcance).

Ahora es el corpus de los argumentos utilizados por nuestros padres "coherente"? Esta pregunta no hace sentido real, porque "argumentos" no son los resultados, y no son "verdadero o falso", ya sea de forma individual o en grupos. Son, entonces y ahora, incompleta novedades dirigidas a convencer a uno de que algunos resultados son verdaderas. La cosa se puede decir es que, sin embargo tembloroso de los argumentos que se parecen a nosotros, ellos fueron usados por estos fundadores para demostrar que sólo los verdaderos resultados. En este mismo sentido débil, sus argumentos fueron consistentes.

Ahora, es el "modo de argumentar" de nuestros padres coherente? De nuevo, el significado de esta pregunta es problemático, porque no hay un único camino para deducir a partir de un conjunto finito de ejemplos, lo que el "camino o argumentando" de nuestros padres fundadores. Lo que es seguro es que un ingenuo lector de sus argumentos, tratando de adivinar, "por inducción", en el sentido de las ciencias naturales, en lo que fue la manera de argumentar de estas personas, y tratar de aplicar este modo de argumentar para obtener nuevos resultados, sería fácil venir a través de contradicciones (no tan ingenuos lectores, como Cauchy, finalmente lo hizo). De hecho, le tomó casi 200 años para los matemáticos para encontrar una "constante modo de argumentar" en el que los argumentos de que el fundador puede ser reformulada sin demasiada distorsión: es el $\epsilon,\delta$ aproximación de Weierstrass y otros. Le tomó casi un siglo más para la construcción de un segundo enfoque coherente, que tal vez tiene la ligera ventaja en el clásico a reformular con incluso menos la distorsión de las discusiones de los fundadores de cálculo. Sin embargo, la prioridad tiene un gran peso en la ciencia, y esta es la razón más obvia por la cual la no-estándar de análisis no ha sustituido a la tradicional.

Quiero terminar por un lado, wittgensteinian, observación: no estamos en un nivel cualitativamente diferentes situación de nuestros padres fundadores fueron: no hay manera de estar seguro de que nuestro "modo de argumentar" es coherente, porque no hay manera de estar seguros de lo nuestro "modo de argumentar" es exactamente. Por esto yo no soy de pensar en el problema que desde Gödel dudamos que ZF o cualquier otro sistema es consistente, pero a la gran mayoría de los problema básico que incluso con un "ciertamente conjunto consistente de axiomas" (dicen los axiomas de la teoría de grupos, para fijar ideas), no estamos realmente seguros de lo que nuestra forma de argumentar (que es el lógico-formal de reglas que permiten transformar las declaraciones en otras declaraciones, a partir de los axiomas de teoremas) es. Para estar seguros, los matemáticos ahora tener mucho cuidado para comenzar un tratado explicando con mucho cuidado las "reglas formales" o el razonamiento. Sin embargo, esta reglas formales el uso de nociones que no son del todo claras (tales como las nociones de "intuitiva entero") y habilidad que no podemos estar seguros de poseer (por ejemplo, la capacidad de reconocer, en una expresión finita, todos ocurrencia de una determinada variable libre). Lo que hacemos es ver a otras personas que trabajan usando esas reglas, tratamos de hacer lo mismo a través de la imitación, a recibir castigos si lo hacemos mal, y después de algunas veces no hacer error más -- por lo que podemos deducir que entendemos las reglas como los otros. Pero no hay ninguna manera de estar realmente seguro de eso.

Answer 2

Contrario a Andrej Bauer de la contención, del siglo xvii cálculo parece muy poco SDG. A diferencia de la SDG, las integrales son interpretarse como una infinita suma, el teorema del valor intermedio se supone que para mantener continuas curvas y, más al punto, la mayor parte de la infinitesimals que se emplearon fueron invertible en lugar de nilpotent. Durante un tiempo, el matemático holandés, Bernard Nieuwentijt, en su debate con Leibniz, argumentó en favor de la utilización de nilpotent infinitesimals, pero finalmente se llegó a creer que su ataque sobre Leibniz estaba mal fundada y regresó a la norma de uso de la invertible infinitesimals. Por supuesto, no estoy sugiriendo que nilpotent infinitesimals no fueron utilizados-que eran de vez en cuando-pero sólo que su uso no estaba a la vista principal. Después de todo, siguiendo a Leibniz, la mayoría de los matemáticos querían que sus infinitesimals a comportarse como los números reales.

Nilpotent infinitesimals junto con invertible infinitesimals estaban ocupados por un número de diferencial de los geómetras en el siglo xix y entrado en la corriente principal de las matemáticas alrededor de la vuelta del siglo xx (en los sistemas de doble números), cuando los geómetras como Hjelmslev y Segre se convirtió interesado en geometrías en la que dos puntos no necesita determinar una única línea recta, y Grothendieck (y otros), más tarde se empleó en la geometría algebraica.

Sospecho que la idea de que el siglo xvii el cálculo parece SDG puede atribuirse en parte a John Bell maravilloso expositivos escritos sobre SDG. Bell fue tomado a la tarea de este por el historiador y matemático Detlef Laugwitz en su, por lo demás reseña muy positiva (para Matemática Comentarios MR1646123 (99h:00002)) de la primera edición de la Campana de Un manual de Análisis Infinitesimal (1998). Por otra parte, yo no soy consciente de que cualquiera de los muchos y graves escritos sobre la historia del cálculo que apoya el punto de vista sugerido por (mi amigo) Juan.

Respuesta a Mikhail Katz:

Mikhail: Fermat trabajo fue uno de los que yo tenía en mente cuando me dijo nilpotent infinitesimals se utiliza de vez en cuando. Sin embargo, su trabajo, que fue en gran parte de que se trate con la tangente construcciones y carecía de la generalidad, es anterior a la obra de Newton y Leibniz, nunca prendió, y no es característico de los principales enfoques para el cálculo de la 17 ª siglo, que es lo que me dijo que yo estaba hablando. Por otra parte, Ese trabajo es muy claro y, por mis luces, las similitudes con SDG son vagos en el mejor.

Muchas gracias, sin embargo, para la referencia a Cifoletti de trabajo, el cual voy a echar un vistazo a. Me apresuro a añadir, sin embargo, que el siguiente pasaje de la Matemática de los Comentarios de la revisión de la obra, que usted cita, no inspira confianza.

"En la segunda parte del libro, el autor se embarca en una investigación sobre el vínculo entre lo moderno sintético de la geometría diferencial, originalmente propuesta por F. W. Lawvere en 1967 y posteriormente en gran parte desarrollado por Lawvere y otros matemáticos, y de Fermat matemáticas.

En muchas situaciones, la mayor parte informales, Lawvere a sí mismo y a otros matemáticos que trabajan en este campo de la investigación expresa sus sentimientos que tenía que haber algún tipo de afinidad entre sintético de la geometría diferencial y del siglo xvii la práctica de matemáticas. El autor ha tratado de hacer explícitos estos sentimientos, pero esta parte del libro es matemáticamente débil y algo ingenua.

El mejor ejemplo es la nota 29, página 208, donde el autor afirma haber establecido una conexión directa entre Fermat y sintético de la geometría diferencial, en el caso de haber sido capaz de convencer a G. Rejes, durante una charla que había tenido con él acerca de Ese trabajo, a nombre de un particular axioma de una posible formulación de la teoría después de Fermat."

Answer 3

He encontrado una copia de la correspondiente pasaje de Berkeley obras en este sitio web. He cortado y pegado de ese sitio, y me han cambiado el formato de la matemática; disculpas al buen Obispo cualquier alteración en el significado.

XIV. Para hacer este Punto más claro, voy a desplegar el razonamiento, y la propone en plena luz de su punto de Vista. Equivale por lo tanto a este, o en otras Palabras ser expresado así. Supongo que la Cantidad de $x$ de los flujos, y por la corriente es mayor, y su Incremento yo llame a $o$, por lo que por el flujo se vuelve $x + o$. Y como $x$ multiplica, se sigue que cada Poder de la $x$ es, igualmente, el aumento en la Proporción debida. Por lo tanto, como $x$ se convierte en $x + o$, $x^n$ se convertirá $(x + o)^n$: es decir, de acuerdo con el Método de Series infinitas, $$x^n + nox^{n-1} + \frac{n^2-n}{2} o^2 x^{n-2} + \text{ etc.}$$ Y si de los dos aumentada Cantidades que subduct la Raíz y el Poder, respectivamente, tendremos resto de los dos Incrementos, a saber, $$o \text{ and } nox^{n-1} + \frac{n^2-n}{2} o^2 x^{n-2} + \text{ etc.}$$ que se Incrementa, al ser dividido por el Divisor común o, el rendimiento de los Cocientes. $$1 \text{ and } nx^{n-1} + \frac{n^2-n}{2} ox^{n-2} + \text{ etc.}$$ que, por tanto, los Exponentes del Cociente de Incrementos. Hasta ahora he supone que $x$ de los flujos, que $x$ tiene un real Incremento, que $o$ es algo. Y he procedido a lo largo de todos en esta Suposición, sin la cual no debería haber sido capaz de haber hecho tanto como un solo Paso. A partir de esta Suposición es que me sale en el Incremento de $x^n$, que soy capaz de compararlo con el Incremento de $x$, y que me parece que la Proporción entre los dos Incrementos. Yo ahora pido permiso para hacer una nueva Suposición contraria a la primera. e. Voy a suponer que no hay ningún Incremento de $x$, o que $o$ no es nada; que la segunda Suposición destruye mi primera, y es incompatible con ella, y por lo tanto con todo lo que supone eso. Yo, sin embargo, pido permiso para retener $nx^{n - 1}$, que es una Expresión obtenida en virtud de mi primera Suposición, que necesariamente presupposeth tal Suposición, y que no podría obtenerse sin él: Todo lo que parece una manera inconsistente de discutir, y como no sería permitido de la Divinidad.

Me parece que el argumento de Berkeley que equivale a un argumento planteado por cada exigentes estudiante en un nonrigorous primer semestre curso de cálculo: `Es el incremento de cero? o no es cero? ¿Cómo puede ser tanto? Eso es incoherente!" En cuyo caso me gustaría invitar al buen Obispo para que venga a mi horario de oficina, donde me gustaría presentarle a $\epsilon$, $\delta$ pruebas.

Apuesto a que podría incluso convencer al Obispo que la Divinidad le permita: "Supongamos que el Diablo te da $\epsilon > 0$. Esta $\epsilon$, aunque positiva, podría ser muy, muy, muy pequeño, tan pequeño como el Diablo le gusta...".

Answer 4

No sé si los principios de cálculo era constante, pero sin duda puede ser hecho tan consistente como el de la matemática moderna, prácticamente sin modificaciones de la configuración básica. Esto va bajo el nombre Sintético de la geometría diferencial (SDG). Como Robinson no estándar de análisis es un cálculo con infinitesimals. SDG debe estar más cerca de el siglo 17 maneras de hacer las cosas porque funciona con nilpotent infinitesimals mientras que el análisis no estándar no. Creo que el siglo 17 cálculo utilizado nilpotent infinitesimals. Alguien puede confirmar esto?

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[Edit: muchas gracias a Lee Mosher para la trascripción de una pieza de Berkeley del texto. Aquí es el mismo fragmento de texto, como sería escrito en SDG en el siglo 21.]

Queremos calcular la derivada de $f(x) = x^n$ donde $n$ es un entero positivo. Deje $x \in R$ y deje $o$ ser cualquier nilpotent infinitesimal de grado 2. Entonces por el teorema del Binomio $$(x + o)^n = x^n + n o x^{n-1} + \frac{n^2 - n}{2} o^2 x^{n-2} + \text{etc}.$$ Debido a $o$ es nilpotent de grado 2, tenemos $o^2 = 0$, por lo que todos los términos, pero los dos primeros son igual a cero. Así tenemos $$(x + o)^n = x^n + n o x^{n-1}$$ por lo tanto $$(x + o)^n - x^n = n o x^{n-1}$$ o $$f(x + o) - f(x) = n x^{n-1} o$$ Debido a $o$ aquí es arbitraria infinitesimal (es decir, la ecuación tiene para todos los $o$ cuya plaza iz cero), podemos usar el Axioma de Microaffinity a la conclusión de que $$f'(x) o = n x^{n-1} o$$ Ahora vamos a utilizar la Cancelación de Principio a cancelar $o$ en ambos lados, que los rendimientos de $f'(x) = n x^{n-1}$.

Debo decir Berkeley escritura era mucho más pintoresco. El Axioma de Microaffinity y la Cancelación Principio es un axioma y teorema de SDG, respectivamente. Que eludir el problema de que Berkeley estaba quejando, es decir, que primero se pretende que la $o$ no es cero (por lo que podemos cancelarlo en ambos lados de la ecuación), pero, a continuación, pretendemos es cero, por lo que todos los mayores términos de desaparecer. En su lugar, podemos hacer lo siguiente: suponga que el $o^2 = 0$ (lo que no implica que $o = 0$ porque no estamos asumiendo que la lógica clásica), de modo que el mayor de los términos de desaparecer, pero, a continuación, utilizar una especie de débil cancelación de propiedad de infinitesimals que nos permite cancelar ellos bajo ciertas condiciones, aunque no es invertible.

Axioma de Microaffinity: Para cada $f : R \to R$ e $x \in R$ existe un único número $f'(x)$, llama la derivada de $f$ a $x$, de tal manera que para todos los infinitesimals $o$ tenemos $f(x + o) - f(x) = f'(x) o$.

Cancelación principio: Vamos a $a, b \in R$. Si $a \cdot o = b \cdot o$ para todos los $o \in \Delta$ entonces $a = b$.

Es esto extraño? Sí, seguro que es si usted está de formación clásica. Se pone más raro: si dejamos $\Delta = \lbrace o \in R \mid o^2 = 0 \rbrace$ el conjunto de la plaza-nilpotent infinitesimals, a continuación,

1. Potencialmente existen no-cero infinitesimals: $\lnot \forall o \in \Delta, o = 0$.
2. No hay infinitesimals que son distintos de cero: $\lnot \exists o \in \Delta, o \neq 0$.

Pero es precisamente lo que necesitamos para explicar toda la confusión acerca de infinitesimals. Recuerda de esta manera: potencialmente hay algunas que no sea cero (que no podemos excluir de su existencia), pero todos ellos son potencialmente cero (que son tan pequeñas que no podemos distinguirlas de cero). No pregunte a sí mismo si un infinitesimal es cero y todo va a estar bien.

Aquí $R$ es la "suave línea real", que es un orden de campo. Por supuesto, no satisface el axioma de Arquímedes, ya que obligaría a todos los infinitesimals a ser cero. Así que es un tipo diferente de animal que el de costumbre,$\mathbb{R}$.

John Bell explicó todo esto en su excelente folleto sobre la suela de textil Análisis Diferencial.

Answer 5

Como se señaló por Ryan Budney y Lee Mosher y Ben Braun, la palabra "coherencia" no puede ser se utiliza aquí en el sentido de la moderna lógica matemática. Así que uno no puede investigar esta cuestión rigurosamente. Pero uno puede aplicar la palabra "coherente" con su día a día (aproximada) de sentido, que significa "libre de contradicciones". Entonces la respuesta es en cierta medida una cuestión de opinión.

Yo al lado con la opinión de Pedro Vickers: principios de cálculo fue constante. No fue peor que los argumentos en la mayoría de las otras ciencias duras (física, química). Pero tal vez no en el nivel de rigor de las Matemáticas.

Por otro lado, lo de Berkeley dice que "una mayoría de los inconsistente manera de argumentar, y como no sería permitido en la Divinidad" suena ridículo para mí. "Divinidad" es una pseudo-ciencia que se ocupa de la las cosas que no existen; por lo tanto lo que es "permitido" en la Divinidad o no permitido es completamente un asunto de opinión. La divinidad no puede ser comparado con otras ciencias duras, mientras que las matemáticas de Newton (o Leibnitz o de Euler) puede.