El cono en un colector

Question

Creo que me he encontrado con la afirmación de que si $X$ es una variedad compacta y suave y $CX$ es el cono en $X$ es decir $[0,1] \times X$ modulo $(0,x)\sim(0,y)$ para todos $x,y \in X$ entonces $CX$ admite la estructura de una colector suave con frontera, con $\left\{1\right\} \times X$ suavemente inmerso en él como el límite, justo cuando $X$ es difeomorfo a una esfera en el espacio euclidiano con su estructura suave estándar. Me gustaría una referencia, o una referencia a una declaración similar.

Answer 1

No hay necesidad de suavidad aquí : si $X$ es una compacta topológica $n$ -manifold y $CX$ es el cono en $X$ entonces $CX$ es una variedad topológica si y sólo si $X$ es homeomorfo a una esfera. Esto es trivial para $n=1$ Así pues, supongamos que $n \geq 2$ . La implicación hacia atrás es trivial, así que supongamos que $CX$ es una variedad topológica. Sea $p_0 \in CX$ sea el punto del cono. Los grupos de homología local $H_{k}(CX,CX-p_0)$ son entonces $\mathbb{Z}$ para $k=0,n+1$ y $0$ de lo contrario. Mirando la secuencia larga exacta para el par $(CX,CX-p_0)$ entonces obtenemos que $H_{k}(X)$ es $\mathbb{Z}$ para $k=0,n$ y $0$ de lo contrario. En otras palabras, $X$ es una homología $n$ -Esfera. A continuación, dado que $n+1 \geq 3$ y $CX$ es un $(n+1)$ -el espacio $CX$ debe satisfacer la siguiente condición: para todo punto $q \in CX$ y todos los barrios $U$ de $q$ debe haber un vecindario $V$ de $q$ tal que $V \subset U$ y $V-q$ está simplemente conectado. Alrededor del punto del cono $p_0$ es fácil ver que esta condición implica que $X$ debe ser de conexión simple. La conjetura de Poincare implica, pues, que $X$ es homeomorfo a un $n$ -Esfera.