¿Es la terminación métrica de una variedad riemanniana siempre un espacio geodésico?

Question

Un espacio de longitud es un espacio métrico $X$ donde la distancia entre dos puntos es el mínimo de las longitudes de las curvas que los unen. La longitud de una curva $c: [0,1] \rightarrow X$ es el sup de $$ d(c(0), c(t_1)) + d(c(t_1), d(t_2)) + \cdots + d(c(t_{N-1}), c(1)) $$ sobre todo $0 < t_1 < t_2\cdots < t_{N-1} < 1$ y $N > 0$ .

Un espacio geodésico es un espacio de longitud, donde para cada $x,y \in X$ hay una curva $c$ conectando $x$ a $y$ cuya longitud es igual a $d(x,y)$ .

Una colector riemanniano $M$ y su terminación métrica $\overline{M}$ son espacios de longitud. Si la variedad riemanniana es completa, entonces es un espacio geodésico.

Pero es $\overline{M}$ ¿es necesariamente un espacio geodésico? Si no es así, ¿cuál es el contraejemplo?

Esto fue motivado por mi respuesta defectuosa a Minimización de geodésicas en variedades riemannianas incompletas

Además, tenga en cuenta que si $\overline{M}$ es localmente compacto, entonces es un espacio geodésico por la prueba habitual. Un ejemplo de $M$ , donde $\overline{M}$ no es localmente compacto es la cubierta universal del plano perforado. Sin embargo, éste sigue siendo un espacio geodésico.

Answer 1

He estado pensando en esto desde que Deane y yo lo discutimos esta mañana, y se me ocurrió la siguiente idea. Que $\Sigma:=\{1,\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{3},\ldots\}\cup \{-1,-\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{3},\ldots\}$ . El conjunto $\Sigma\cup \{0\}$ está cerrado en $\mathbb{R}$ .

Dejemos que $(M,g)$ sea el complemento de $[0,1]\times (\Sigma\cup\{0\})$ en el plano euclidiano. A priori, me parece que la terminación métrica $\overline{M}$ de $(M,g)$ contiene los siguientes "puntos extra":

• $\{0,1\}\times (\Sigma\cup\{0\})$

• para cada $(t,s)\in(0,1)\times\Sigma$ , dos puntos $(t,s)_\pm$ que provienen de los (dos diferentes) límites direccionales $\lim_{y\to s^\pm}(t,y)$ .

Lo más importante es que, por lo que veo, no hay nada en $\overline{M}$ correspondientes a los puntos del segmento $(0,1)\times\{0\}$ .

Si es así, entonces la distancia entre los puntos $(0,0)$ y $(1,0)$ es 1, pero no hay ninguna curva de distancia 1 en $\overline{M}$ conectándolos.