En Cómo reconocer constante de funciones. Conexiones con espacios de Sobolev (ruso Matemáticas Encuestas 57 (2002); MSN), H. Brezis, recuerda el siguiente hecho:
Deje $\Omega\subset{\mathbb R}^N$ estar conectado y $f:\Omega\rightarrow{\mathbb R}$ ser medibles, de tal manera que $$\int\int_{\Omega\times\Omega}\frac{|f(y)-f(x)|}{|y-x|^{N+1}}\,dx\,dy<\infty.$$ A continuación, $f$ es constante.
Añade
La conclusión es fácil de decir, pero no sé directa, la primaria, la prueba. Nuestra prueba no es muy complicado, pero requiere una "excursión" a través de los espacios de Sobolev.
Mi pregunta es si hay una escuela primaria de la prueba en el caso especial de un espacio de dimensión ($N=1$, $\Omega$ un intervalo).