Una caracterización de la constante de funciones

Question

En Cómo reconocer constante de funciones. Conexiones con espacios de Sobolev (ruso Matemáticas Encuestas 57 (2002); MSN), H. Brezis, recuerda el siguiente hecho:

Deje $\Omega\subset{\mathbb R}^N$ estar conectado y $f:\Omega\rightarrow{\mathbb R}$ ser medibles, de tal manera que $$\int\int_{\Omega\times\Omega}\frac{|f(y)-f(x)|}{|y-x|^{N+1}}\,dx\,dy<\infty.$$ A continuación, $f$ es constante.

Añade

La conclusión es fácil de decir, pero no sé directa, la primaria, la prueba. Nuestra prueba no es muy complicado, pero requiere una "excursión" a través de los espacios de Sobolev.

Mi pregunta es si hay una escuela primaria de la prueba en el caso especial de un espacio de dimensión ($N=1$, $\Omega$ un intervalo).

Answer 1

No se muy bien la respuesta, pero demasiado largo para un comentario.

Déjame hacer mi vida más fácil y tomar un poco $\Omega=\mathbb{R}^N$ mientras que el aumento de la exponente ligeramente. Es decir, voy a suponer que $$I:=\ \int_{\mathbb{R}^{2N}}\ \frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|^{\alpha}}\ d^Nx d^Ny$$ es finito, donde $\alpha>N+1$. Entonces tenemos, sólo por la desigualdad de triángulo que implican el punto medio, $I\le J$donde $$J:=\ \int_{\mathbb{R}^{2N}}\ \frac{\left|f(x)-f\left(\frac{x+y}{2}\right)\right| +\left|f\left(\frac{x+y}{2}\right)-f(y)\right|}{|x-y|^{\alpha}}\ d^Nx d^Ny$$ $$=\ 2^{N+1-\alpha}\ I\ ,$$ por un simple cambio de variable. Desde $I\in [0,\infty)$ e $I\le 2^{N+1-\alpha}\ I$ con $N+1-\alpha<0$, nos pondremos $I=0$.

La OP del caso es claramente una frontera/extremo donde el argumento anterior sólo pasa a romper. Tal vez uno puede conseguir una logarítmica de mejora, mediante el uso inteligente de las estimaciones.

El por encima de la simple idea de que es sólo un "Sobolev-ish"con sabor (como opuesto a "Hölder-ish"), adaptación de la clásica prueba de Hölder con exponente mayor que uno en 1D implica constante, subdividiendo el intervalo de $[x,y]$ a $k$ piezas y teniendo en $k\rightarrow\infty$.