¿Por qué esta cuasi-modular la función tiene valores integrales?

Question

Es bien conocido el resultado de que el sistema modular de la función $1728J(\tau) := \frac{1728E_4(\tau)^3}{E_4(\tau)^3-E_6(\tau)^2}$ tiene valores integrales si $\tau$ tiene número de clase 1, por ejemplo, en $\tau_{163}:=\frac{1+i\cdot\sqrt{163}}{2}$ obtener $1728J(\tau_{163})=-640320^3$.

Ahora definir la cuasi-modular la función $s_2(\tau):=\frac{E_4(\tau)}{E_6(\tau)}\cdot\left(E_2(\tau)-\frac{3}{\pi Im(\tau)}\right)$.

Luego he mirado en todos los 13 de clase 1 discriminantes y de comprobar numéricamente que $$M(\tau):=s_2(\tau)\cdot(1728J(\tau)-1728)=\frac{1728E_4(\tau)E_6(\tau)}{E_4(\tau)^3-E_6(\tau)^2}\left(E_2(\tau)-\frac{3}{\pi Im(\tau)}\right)$$ también ha integral de los valores de todos estos $\tau_N$.

Por ejemplo,$M(\tau_{163})=-2^{13}\cdot3^5\cdot5\cdot7\cdot11\cdot19\cdot23\cdot29\cdot127\cdot181$.

Mi Pregunta: Cómo puedo probar que $M(\tau)\in\mathbb Z$ para todos los $\tau$ con clase número 1? O donde puedo encontrar una prueba para él?

Edit: Después de la respuesta de @Zavosh (gracias!!!) queda por probar esta pregunta. ¿Quién puede ayudar?

Answer 1

Algebraicity es demostrado en el anexo uno de [1]. La función consideró que existe

$$ \psi(\tau) = \frac{3E_4(\tau)}{2E_6(\tau)} (E_2(\tau) - \frac{3}{\pi \rm{Im} \tau}) = \frac{3}{2} s_2(\tau).$$

La prueba está estableciendo, para cuadrática irrationals $\tau$, la identidad $$ \psi(\tau) = 9j(\tau)\gamma + \frac{3(7j(\tau)-6912)}{2(j(\tau)-1728)}$$ donde $\gamma$ es una función racional en los coeficientes de la serie de Taylor de un cierto polinomio $\Phi(X,Y)$ alrededor del punto de $(j(\tau),j(\tau))$ donde se desvanece. Entonces

$$M(\tau) = 1728 s_2(\tau) (j(\tau)-1) = 1728(j(\tau)-1) ( 6j(\tau)\gamma + \frac{(7j(\tau) - 4\cdot1728)}{j(\tau)-1728}.$$

También hay una identidad diferente para los cálculos, para al $\tau$ no es equivalente a $i$ o $\rho$, y satisface $$ A \tau^2 + B \tau + C = 0$$ con $A,B,C$ coprime enteros positivos:

$$\psi(\tau) = \frac{-g_2 S}{Cg_3 (2A+B\tau)}$$ donde $S$ es la suma de $\wp(z)$ as $z$ rangos de $C\tau$-torsión puntos de $\mathbb{C}/\langle 1,\tau \rangle$.

Masser da una tabla de $\psi(\tau)$, para obtener una lista de los generadores de los anillos de enteros de los imaginarios cuadrática campos con número de clase 1. Son todos los números racionales, y se puede comprobar que $$ M(\frac{-1+\sqrt{-163}}{2}) = 223263987730882560,$$ lo cual está de acuerdo con la factorización en la pregunta. También

$$\begin{align}M(\frac{-1+\sqrt{-67}}{2})&=-112852776960=-2^{11}\cdot 3^5 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 19 \cdot 31\\ M(\frac{-1+\sqrt{-43}}{2})&=-627056640=-2^{13}\cdot 3^7 \cdot 5 \cdot 7\\ M(\frac{-1+\sqrt{-27}}{2})&=-7772161=-1181\cdot 6581\\ M(\frac{-1+\sqrt{-19}}{2})&=-497664=-2^{11} \cdot 3^5\\ M(\frac{-1+\sqrt{-11}}{2})&=-14336=-2^{11} \cdot 7\end{align},$$ etc.

Probablemente, uno puede demostrar que $M(\tau)$ es un entero algebraico por ir a través de Masser cálculos y limpieza de denominadores.

[1] Masser, David W. Elíptica Funciones y Trascendencia