Lo que está mal con este argumento de que la segunda ley de Newton implica a todos los potenciales son cuadrática?

Question

La segunda ley de Newton establece que:

$$F(\vec{x})=m\vec{\ddot{x}}$$

Para $\vec{x}$ escala arbitraria constante $s$, obtenemos:

$$F(s\vec{x})=ms\vec{\ddot{x}} \Longleftrightarrow \frac{F(s\vec{x})}{s}=m\vec{\ddot{x}}$$

Que es claramente $F(\vec{x})$! Por lo tanto:

$$F(\vec{x})=\frac{F(s\vec{x})}{s} $$

para cualquier $s$, que sólo puede ser satisfecha por una ecuación cuadrática potencial. Por lo tanto, si la segunda ley de Newton es tener y ser coherente, todos los potenciales en el universo son cuadráticas! Hay un evidente error aquí, o es esta inconsistencia relacionado con el hecho de que la mecánica clásica no es una descripción completa de la naturaleza? Debido a esta discrepancia no parecen surgir si utilizamos el teorema de Ehrenfest en QM.

Answer 1

Mientras que otras respuestas son correctas, no solucionan su problema específico. Parece que están tratando a la segunda ley de Newton como se define una sola función, cuando no.

Por ejemplo, en álgebra si yo digo que una función es $f(x)=x^2 + 3$, entonces yo puedo "enchufan" esta función algo como $sx$ , de modo que $f(sx)=(sx)^2+3$ por la forma en que hemos definido la función.

Esto no es lo que la segunda ley de Newton está haciendo. $F(x)=m\ddot x$ es no una función diciendo: "todo lo puedo conectar a la función $F$ I tomar su segunda derivada con respecto al tiempo y se multiplica por $m$." Así, su declaración de $F(sx)=ms\ddot x$ no es correcto. La ley de Newton es una ecuación diferencial, no una definición de función. $F(x)$ se define por las fuerzas que actúan sobre nuestro sistema, y la segunda ley de Newton establece que la aceleración es proporcional a esta fuerza.

Answer 2

Con el fin de lidiar con el tipo de análisis que usted quiere hacer, usted tiene que tener cuidado. Es un poco incómodo para escribir $F(\vec{x})=m\ddot{\vec{x}}$ en el primer lugar, pero usted puede escribir que siempre y cuando usted entienda lo que significa. Eso significa que usted está considerando la fuerza y la aceleración, tanto como los campos porque usted está considerando la ley de Newton a cada punto en el espacio. Así, una clara forma de escribir es $$F(\vec{x})=m\ddot{\vec{x}}(\vec{x})$$

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Edición de $1$: Permítanme aclarar el significado de esta expresión un poco más claramente. Como ya he dicho, estoy considerando la posibilidad de una partícula en cada punto en el espacio. Así, $\ddot{x}(x)$ simplemente significa que la aceleración de la partícula que se encuentra en $x$. El $x$ es el soporte es una etiqueta. Por ejemplo, si yo estaba escribiendo el la segunda ley de Newton para $N$ partículas, yo iba a escribir $F(x_i)=\ddot{x}_i$ para $i=1,2,...,N$. Ahora, pongo una partícula en cada punto de coordenadas y la etiqueta $i$ es reemplazado con las coordenadas de la etiqueta $x$. Así que, simplemente reemplazando $i$ con $x$ me $F(x(x))=\ddot{x}(x)$ donde $x$ es una etiqueta como $i$. Ahora, observe que $F(x(x))$ significa que la fuerza en la posición $x$ de una partícula etiquetados por $x$. Pero el significado de la coordenada de etiquetado de $x$, por definición, implica que la posición $x$ de una partícula etiquetados por $x$ simplemente se $x$. Por lo tanto, me adoptar una notación concisa para $F(x(x))$ y simplemente escribir $F(x)$. Por lo tanto, $F(x(x))=\ddot{x}(x)$ hace $F(x)=\ddot{x}(x)$, que es la expresión anterior escrito, excepto en el vector de notación.

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Ahora, usted puede hacer el escalado de juego y escribe $$F(s\vec{x})=m\ddot{\vec{x}}(s\vec{x})$$

Ahora, ver que no hay ninguna razón para creer que $$\ddot{\vec{x}}(s\vec{x})=s\ddot{\vec{x}}(\vec{x})$$ in general. However, what you can do is try to see when this would be true. And if you do that, you can see that this would be true iff $$F(s\vec{x})=sF(\vec{x})$$

Esto es lo que finalmente consiguió. Pero esto simplemente significa que usted creía que la condición bajo la cual la $\ddot{\vec{x}}(s\vec{x})=s\ddot{\vec{x}}(\vec{x})$ sería válida. Su error fue que se supone que $\ddot{\vec{x}}(s\vec{x})=s\ddot{\vec{x}}(\vec{x})$ genéricamente es verdadera (probablemente debido a su confusa notation) y luego llegó a la conclusión de que $F(s\vec{x})=sF(\vec{x})$ debe ser cierto de forma genérica, lo cual no es cierto porque el supuesto implícito es que no genéricamente verdadero.

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Edición de $2$

Estoy considerando la transformación de $x\to sx$ significa que nos lleva de un punto a a $x$ a punto de $sx$ en las mismas unidades. Así que, si estoy escribiendo la ley de Newton para la partícula en la posición $x=1$ como $F_1 = a_1$, la transformación significa que ahora estoy escribiendo la ley de Newton para una partícula diferente, uno que se encuentra en $x=s$, y me gustaría escribir $F_s=a_s$. Así que nada no trivial que está sucediendo aquí. La asunción de la OP fue que $a_s=sa_1$ que es un muy no trivial de la demanda a medida que establece una relación entre las aceleraciones de las partículas en diferentes puntos. Yo simplemente señalar lo obvio que esto no es cierto a menos que las fuerzas en esas posiciones están relacionados de tal manera de establecer una relación, es decir, a menos que $F_s=sF_1$.

Answer 3

Lo que se encuentra aquí no es una incoherencia de la mecánica de Newton, pero una simetría del oscilador armónico. Considerar para la simplicidad de un punto de la partícula en el $\mathbb{R}^n$. La fuerza puede ser considerado como una función de $F:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n$ tomando la posición de la partícula como argumento. La ley de Newton afirma que un físico trayectoria $$\gamma:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}^n$$ of a point-particle of mass $m$ satisfies the equation $$F(\gamma(t))=\ddot\gamma(t)$$ for all times $t\in\mathbb{R}$.

Ahora con respecto a su pregunta, se observa que, si tomamos un físico de la trayectoria de $\gamma$ y la escala por un número real $s\in\mathbb{R}$, esto cumple la ley de Newton sólo si $F$ es lineal. Sin embargo, esta no es la inconsistencia de la mecánica de Newton, ya que la escala física de una trayectoria, en general, no dan una nueva física de la trayectoria. En cambio, la interpretación correcta de lo que has encontrado aquí es que este Tipo de escalado de simetría es una característica de la oscilador armónico (cuadrática potencial).

Como conclusión, se supone, que la ampliación física de la trayectoria da una nueva física de la trayectoria, lo cual no es cierto en general. Lo que encontraron es que esta simetría es una propiedad de los lineales de las fuerzas/cuadrática potenciales. Espero que esto te puede ayudar!. Saludos!

Answer 4

A mí me parece que usted ha intentado de manera ilegal el cambio de variables. Usted no puede simplemente sustituir $s\vec{x}$ para $\vec{x}$.

Recuerde que la ecuación de $F(\vec{x}) = m \vec{\ddot{x}}$ se supone que no se mantenga para todas las posibles variables en el tiempo las cantidades $\vec{x}$. Es una determinada afirmación acerca de la $\vec{x}$, lo cual es cierto para algunas variables en el tiempo las cantidades $\vec{x}$ y falso para otro momento-cantidades que varían $\vec{x}$. La segunda ley de Newton afirma que la ecuación es verdadera si $\vec{x}$ es la posición de una partícula en un campo de fuerza definido por la función $F$.

Así que si usted desea hacer un cambio de variables similar a la que usted hizo, usted tendrá que definir una nueva cantidad $\vec{y} = \frac{\vec{x}}{s}$, y, a continuación, se puede sustituir el $s\vec{y}$ para $\vec{x}$.

Desde allí, se puede concluir que

$$F(s\vec{y})=ms\vec{\ddot{y}} \Longleftrightarrow \frac{F(s\vec{y})}{s}=m\vec{\ddot{y}} = \frac{m}{s}\vec{\ddot{x}},$$

y en el extremo derecho de la expresión aquí es claramente $\frac{F(\vec{x})}{s}$. Por lo tanto:

$$\frac{F(\vec{x})}{s} = \frac{F(s\vec{y})}{s}.$$

Por supuesto, esto no es una contradicción en absoluto. Es una tautología, ya que $\vec{x} = s \vec{y}$ por la definición de $\vec{y}$.

Answer 5

Para $\vec x$ escala arbitraria constante $