Espero que sea adecuado para hacer esta pregunta aquí:
Una formulación de la abc-conjetura es
$$ c < \text{rad}(abc)^2$$
where $\gcd(a,b)=1$ and $c=a+b$. This is equivalent to ($a,b$ being arbitrary natural numbers):
$$ \frac{a+b}{\gcd(a,b)} < \text{rad}(\frac{ab(a+b)}{\gcd(a,b)^3})^2$$
Let $d_1(a,b) = 1- \frac{\gcd(a,b)^2}{ab}$ , que es un resultado de la métrica en los números naturales. Deje $d_2(a,b) = 1- 2 \frac{\gcd(a,b)}{a+b}$, lo que yo sospechoso de ser una métrica sobre números naturales, pero no los he probado todavía. Vamos $$d(a,b) = d_1(a,b)+d_2(a,b)-d_1(a,b)d_2(a,b) = 1-2\frac{\gcd(a,b)^3}{ab(a+b)}$$
Then we get the equivalent formulation of the inequality above:
$$\frac{2}{1-d_2(a,b)} < \text{rad}(\frac{2}{1-d(a,b)})^2$$
which is equivalent to :
$$\frac{2}{1-d_2(a,b)} < \text{rad}(\frac{1}{1-d_1(a,b)}\cdot\frac{2}{1-d_2(a,b)} )^2$$
My question is if one can prove that $d_2$ and $d$ are distances on the natural numbers (without zero)?
Result: By the answer of @GregMartin, $d_2$ is a metric. By the other answer $d$ es también una métrica.
Editar: Por "simetría" en $d_1$ e $d_2$, esta interpretación también sugiere que la siguiente desigualdad es cierto , que podría ser trivial para probar o muy difícil o que podría estar equivocado y puede ser de utilidad o no en la teoría de los números:
$$\frac{1}{1-d_1(a,b)} < \text{rad}(\frac{2}{1-d(a,b)})^2$$
which is equivalent to
$$ \frac{ab}{\gcd(a,b)^2} < \text{rad}(\frac{ab(a+b)}{\gcd(a,b)^3})^2$$
(This is not easy to prove, as the $abc$ conjecture $c=a+b < ab < \text{rad}(abc)^2$ would follow for all $a,b$ such that $a+b < ab$.)
Segunda edición: Tal vez la prueba de que $d_2,d$ son distancias se puede hacer con algún tipo de métrica de transformación, por ejemplo, tal vez con un Schoenberg transformación (Véase 3.1, página 8 en https://arxiv.org/pdf/1004.0089.pdf) La idea, de que esto puede ser demostrado con un Schoenberg transformar viene del hecho de que:
$$d_1(a,b) = 1-\exp(-\hat{d}(a,b))$$ por lo $d_1$ es un Schoenberg transformación de $\hat{d}(a,b) = \log( \frac{ab}{\gcd(a,b)^2}) = \log( \frac{\text{lcm}(a,b)}{\gcd(a,b)})$ cual es demostrado para ser una métrica (ver Enciclopedia de Distancias, página 198, 10.3 )
Tercera edición: He aquí algunos de Sage Código para probar la desigualdad de triángulo de triplas (a,b,c) hasta 100:
def d1(a,b):
return 1-gcd(a,b)**2/(a*b)
def d2(a,b):
return 1-2*gcd(a,b)/(a+b)
def d(a,b):
return d1(a,b)+d2(a,b)-d1(a,b)*d2(a,b)
X = range(1,101)
for a in X:
for b in X:
for c in X:
if d2(a,c) > d2(a,b)+d2(b,c):
print "d2",a,b,c
if d(a,c) > d(a,b)+d(b,c):
print "d",a,b,c
hasta ahora con ningún contraejemplo.
Relacionado con: Una desigualdad inspirado por la abc-conjetura y dos preguntas
