Estoy impartiendo un curso sobre teoría de Hodge y me di cuenta de que yo no entiendo algo básico.
Vamos primero $X$ ser un equipo compacto Kahler colector. Deje $H^{p,q}(X)=H^q(X,\Omega^p_X)$ donde $\Omega^p_X$ es la gavilla de holomorphic $p$-formas. Vamos también a $\Omega^*_X$ denotar la holomorphic complejo de de Rham. A continuación, hay dos declaraciones:
1) El espectro de la secuencia que viene desde el estúpido de filtración en $\Omega^*_X$ degenera en $E_1$. Esto es equivalente a decir que $H^*(X,\mathbb{C})$ tiene un filtrado que el asociado gradual espacio es canónicamente identificado con la suma directa de $H^{p,q}(X)$.
2) $H^k(X,\mathbb{C})$ es canónicamente isomorfo a la suma directa de $H^{p,q}(X)$ con $p+q=k$.
La 2ª declaración implica la 1ª (ya que para la degeneración de la secuencia espectral es suficiente para comprobar que los dos espacios tienen la misma dimensión). Quiero entender en qué medida la 1ª declaración implica la 2ª. De hecho, la teoría de la armónica de las formas implica que $H^{p,q}(X,\mathbb{C})$ es igual a $F^p(H^{p+q}( X,\mathbb{C}))\cap \overline{F^q(H^{p+q}( X,\mathbb{C}))}$ donde $F^*$ stands para la Hodge filtración (inducida por el estúpido de filtración en el complejo de de Rham). Mi pregunta es si es posible demostrar que este hecho sin el uso armónico de formas, si ya sabemos que la degeneración de la forma del espectro de la secuencia? Por ejemplo, suponga que $X$ es una completa liso algebraicas variedad de más de $\mathbb{C}$. A continuación, Deligne y Illusie dar una prueba algebraica de la degeneración de la forma del espectro de la secuencia de uso de la reducción a la característica $p$. Es cierto que la descomposición de Hodge tiene en este caso así? Cómo probar esto? (Yo sé que si $X$ no es necesariamente Kahler, a continuación, puede ocurrir que el espectro de la secuencia se degenera, pero la descomposición de Hodge falla, pero estos ejemplos no son algebraicas, así que la pregunta tiene sentido). Básicamente, quiero entender si es posible demostrar la existencia de Hodge descomposición sin tener que hacer uso de la Dolbeaut complejo (o explícita en la resolución de la holomorphic o algebraico complejo de de Rham)?
