Super-cobordisms

Question

Uno puede construir la $d$-dimensiones bordism categoría, al declarar que los objetos a ser el $(d-1)$-dimensional compacta colectores sin límite y los morfismos la $d$-dimensiones bordisms entre ellos. Llamarlo $\mathcal{Cob}_d$. Es bien sabido que los componentes conectados de la geométrica de la realización de esta categoría se encuentran en una correspondencia uno a uno con $\pi_d(MO)$ donde $MO$ es la Thom espectro para el grupo ortogonal. Esta es la clásica Thom-teorema de Pontryagin.

Uno puede pensar en la construcción de una categoría similar con supermanifolds. Es decir, $\mathcal{Cob}_{(d|k)}$ es la categoría cuyos objetos son $(d-1|k)$-dimensiones supermanifolds y los morfismos la $(d|k)$-dimensiones bordisms.

¿Alguien sabe de una Thom-Pontryagin tipo de resultado para esta categoría? Hay un espectro de $MO_{|k}$, cuya homotopy grupos de recuperar los componentes conectados de la geométrica de la realización de la $\mathcal{Cob}_{(d|k)}$?

Answer 1

Hay una serie de problemas técnicos con hacer lo que usted describe precisa, por ejemplo: ¿qué es, precisamente, un supermanifold con límite? ¿cómo se puede pegamento/componer bordisms? etc. Voy a ignorar estos tecnicismos, porque creo que no hace mucha diferencia a su pregunta. Muchos de estos problemas han sido abordados por otras personas, por ejemplo, yo sugeriría mirando el trabajo de Stolz-Teichner y la referencia a los mismos para ver qué tipo de cosas que la gente ha tratado de hacer.

En cualquier caso, en el buen categoría tenemos:

Batchelor teorema: todos los $(d|k)$-dimensiones supermanifold es (no canónicamente!) de la forma $\pi E$ para $E$ a un rango de $k$ vector paquete de más de un $d$-colector. Además, el isomorfismo de la clase del vector paquete está determinada únicamente por el super colector.

Aquí $\pi E$ es el super colector cuyo anillo de funciones es el mundial de las secciones de la parte exterior de álgebra bundle $\wedge^* E^*$. Así que los morfismos de $\pi E$ a $\pi E'$ provienen de todos los álgebra de mapas y son más que el vector paquete de mapas (que corresponden a la homogénea álgebra de mapas).

Si $(X, \mathcal{O}_X)$ es un super colector, el vector paquete de $E$ puede ser obtenido considerando $\mathcal N / \mathcal N^2$ donde $\mathcal N$ es el subsheaf de $\mathcal{O}_X$ de nilpotent elementos.

Así que hay functors en ambas direcciones pero no hay isomorfismo natural a partir de la identidad functor en supermanifolds a $\pi(\mathcal N / \mathcal N^2)$. Esto es lo que el "no canónica" significa.

Pero todavía podemos obtener un bijection entre clases de isomorfismo de supermanifolds y clases de isomorfismo de colectores con el vector de paquetes. Por lo tanto, a menos que puedes hacer algo más sofisticado como el trabajo en las familias, cuando se pasa a bordism clases que se acaba de obtener el bordism grupo de $d$-colectores equipado con rango de $k$-vector de paquetes. Esto tiene dos nombres:

$$ \pi_d( MO \wedge BO(k)) = MO_d(BO(k))$$

como el d-ésimo homotopy grupo de smash del espectro $MO$ y en el espacio $BO(k)$ (que es también otra Thom espectro) o, equivalentemente, como el d-ésimo $MO$-homología grupo de $BO(k)$. Para que identifica el bordism grupo.

Creo que es una pregunta muy interesante si el conjunto de Pontryagin-Thom construcción puede llevarse a cabo dentro del mundo de supermanifolds, sino que es una cuestión diferente.