Evitar enteros en el espectro de la Laplaciano de una superficie de Riemann

Question

Deje $\Sigma^2$ ser una superficie compacta orientable de género $gen(\Sigma)\geq2$, y denotan por $\mathcal M(\Sigma)$ el espacio de moduli de hiperbólico métricas en $\Sigma$, es decir, métricas de Riemann de curvatura constante $-1$. Recordemos que, a partir de la teoría de Teichmüller, este es un finito-dimensional subespacio del espacio de todas las métricas de $\Sigma$, y en realidad tiene dimensión $6gen(\Sigma)-6$. Para una determinada métrica $g$, denotan por $Spec(\Delta_g)=\{0=\lambda_0<\lambda_1\leq\lambda_2\leq\dots\}$ el espectro de la Hodge-Laplaciano de $g$, actuando en $C^\infty(\Sigma)$.

Pregunta 1: Dado un número natural $n\in\mathbb N$, no existe una métrica hiperbólica $g\in\mathcal M(\Sigma)$ tal que $n\notin Spec(\Delta_g)$?

He intentado varias `deformación" de los argumentos para tratar de demostrar que si algunos de $g\in\mathcal M(\Sigma)$ ha $n$ como un valor propio, a continuación, una pequeña perturbación $g'\in\mathcal M(\Sigma)$ ya no tendría que autovalor, pero sin éxito... en Lugar de evitar cualquier número natural dado, uno puede intentar la (aparentemente) más fácil la tarea:

Pregunta 2: ¿existe una métrica hiperbólica $g\in\mathcal M(\Sigma)$ tal que $n\in Spec(\Delta_g)$ sólo para un número finito de números de $n\in\mathbb N$?

O incluso más,

Pregunta 3: ¿existe una métrica hiperbólica $g\in\mathcal M(\Sigma)$ tal que $\mathbb N\not\subset Spec(\Delta_g)$?

Aunque las respuestas a Q2 y Q3, parecen ser "obviamente sí", no he sido capaz de encontrar un riguroso argumento para probar que. He tratado de argumentar por la contradicción, para demostrar que si $Spec(\Delta_g)$ contiene una infinidad de números naturales (o todos ellos), entonces tenemos que de alguna manera violar Weyl de la fórmula (ver este post), que dice que $\lambda_k\sim \frac{k}{gen(\Sigma)-1}$ as $k\to+\infty$, pero de nuevo sin éxito (incluso en el caso de $gen(\Sigma)=2$).

Answer 1

Me informó de Sugata Mondal en el MPI de que Scott Wolpert demostrado el siguiente resultado en sus 1994 Anales de papel Desaparición de la cúspide de las formas en especial a las familias:

Teorema 5.14. Los autovalores de la Laplaciano por encima de $\tfrac14$ en un circuito cerrado en superficie hiperbólica variar trivial en virtud de la analítica de las deformaciones.

Es decir, si $g_t$ es un real-analítica de la ruta de métrica hiperbólica en $\Sigma$, entonces no real-analítica de la rama de $\lambda_k(t)$ de un autovalor de la Laplaciano $\Delta_{g_t}$ puede ser constante. Recordemos que por el Kato Selección Teorema, hasta el reetiquetado de los índices de $k$'s, las funciones de $\lambda_k(t)$ son reales-analítica.

También en contacto con Scott Wolpert, quien confirmó que este hecho responde a todas mis preguntas anteriores. En particular, él había llamado a Q1 "en el medio C vergüenza pregunta", ya que antes el resultado anterior podría haber sido que el do central en el piano es de una frecuencia para cada hiperbólico Laplaciano. Por último, tenga en cuenta que su resultado también claramente permite prescribir el género de la cerrada de la superficie hiperbólica $\Sigma$, al mismo tiempo que se evita cualquier número real $\lambda>\tfrac14$ en su espectro.