Aplicaciones de la Teoría de Carácter

Question

Algunas de las aplicaciones de carácter de la teoría son las pruebas de Burnside $p^aq^b$ teorema , el teorema de Frobenius y factorización del grupo determinante (el problema es que el led de Frobenius para el carácter de la teoría).

Me gustaría saber ¿cuáles son algunos de los otros problemas que se han resuelto mediante la aplicación del carácter de la teoría especial de la teoría de números y teoría de grupos.

Answer 1

@Alejandro Gruber - Un célebre conjetura de Dedekind afirma que para cualquier finito algebraicas extensión de $K$$\mathbb{Q}$, los zeta de la función $\zeta_K(s)$ es divisible por el de Riemann zeta función de $\zeta(s)$. Es decir, el cociente $\zeta_K (s)/\zeta(s)$ es todo. De manera más general, Dedekind conjeturas que si $L$ es una extensión finita de $K$, $\zeta_L(s)/\zeta_K(s)$ debe ser entero. Esta conjetura está todavía abierto, creo.
Por el trabajo de Aramata y Brauer la conjetura es conocido para ser verdad si $L/K$ es de Galois. Si $L$ está contenida en una solución extensión de $K$, Uchida y van der Waall independientemente han demostrado Dedekind de la conjetura. Las pruebas se basan en las propiedades de la M-grupos y por lo tanto, esta es una muy buena aplicación de la carácter de la teoría a la teoría algebraica de números!

Answer 2

Representaciones de grupos finitos puede ser usado para demostrar Hurwitz del 1,2,4,8 teorema. Ver http://www.math.uconn.edu/~kconrad/extractos/linmultialg/hurwitzrepnthy.pdf.

Answer 3

Carácter de la teoría proporciona un mejor lenguaje para hablar de ciertas grupo teórico de los problemas. Aquí es un ejemplo.

Definición. Deje $G$ ser un grupo finito.

1. Si $M\unlhd H \leqslant G$ $H/M$ es cíclica, llamamos a $(H,M)$ un par.
2. Para$g\in G$$H\leqslant G$, escribir $$F_H(g)=\{[g,h]:h\in H\cap H^{g^{-1}}\}$$ If $(H,M)$ is a pair and $F_H(g)\no\subseteq M$ for all $g\in G$, we say that $(H,M)$ es un buen par.
3. Si $(H,M)$ $(K,L)$ son buenos pares, les decimos que están relacionados en $G$ si existe un $g\in G$ que $H^g\cap L=K \cap M^g$. Puede ser demostrado que ser relativa en $G$ es una relación de equivalencia en el conjunto de buenos pares en $G$, y se denota por a $m_G$ el número de clases de equivalencia bajo esta relación.
4. Denotar por $n_G$ el número de clases de equivalencia de los elementos de $G$ por la relación $x\sim y \Leftrightarrow \langle x \rangle \text{ is conjugate to } \langle y \rangle\text{ in }G$.
5. Deje $\mathcal{M}$ ser la clase de grupos finitos con la propiedad de que $m_G=n_G$.

La bondad, que es un largo proceso de definición. $\mathcal{M}$ es claramente una muy difícil de clase de los grupos en estudio, imposible de entender. Todas las piezas encajan de alguna extraña manera, pero no es muy claro lo que significa.

Considere la siguiente definición alternativa.

Definición. Un personaje de un grupo finito $G$ es monomio si es inducida a partir de un carácter lineal de un subgrupo de $G$. Podemos decir $G$ es en la clase $\mathcal{M}$ si cada irreductible carácter de $G$ es monomio.

Los grupos en ambas definiciones se denomina $\mathcal{M}$-grupos, con la prueba de equivalencia dada yonder. Sabemos un montón de cosas acerca de ellos: $\mathcal{M}$-grupos tienen solución, supersolvable grupos se $\mathcal{M}$-grupos, subgrupos normales de $\mathcal{M}$-y los grupos de los cocientes son tanto $\mathcal{M}$-grupos, cada solucionable grupo puede ser incrustado en un $\mathcal{M}$-grupo.

No es en absoluto evidente que estas definiciones son equivalentes. La primera definición se introdujo $55$ años después de la segunda, motivado por informal de preguntas planteadas por varias personas que estudiaron $\mathcal{M}$-los grupos a través de pares. El propósito de este post no es para devaluar el estudio de los pares en $\mathcal{M}$-grupos, sino para enfatizar que el carácter de la teoría proporciona un lenguaje más fácil para estudiar algunos problemas en la teoría de grupo, incluso cuando no es lógicamente necesario como en el caso de Burnside y Frobenius' teoremas.

Answer 4

Una de las principales aplicaciones de la teoría de representaciones del grupo simétrico es el estudio de los caminos aleatorios en grupos. Mirad por ejemplo el Capítulo 11 en la 'Teoría de representaciones de Grupos Finitos' por Benjamin Steinberg.

Answer 5

El Feit–Thompson teorema, o Impar Orden Teorema, los estados que cada grupo finito de orden impar es solucionable. Esto fue demostrado por Walter Feit y John Thompson (1963). Su prueba de ($2^8-1$ páginas de largo) se basa en gran medida en el carácter de la teoría.