¿Una teoría de los diferenciales estocásticas álgebras de existir?

Question

Mi pregunta es motivado principalmente por las finanzas, donde no técnicos alumno aprenderá a acercarse a SDEs el uso de la manipulación simbólica de Itô cálculo y las reglas básicas de movimiento Browniano, es decir, las sustituciones $$ (dt)^2 = (dB_t)(dt) = (dt)(dB_t) = 0 $$ $$ (dB_t)^2 = dt $$ and the stochastic product rule $$ d(X_tY_t) = (X_t)(dY_t) + (dX_t)(Y_t) + (dX_t)(dY_t) $$ Diferencial álgebra ofertas con anillos equipados con derivaciones, homomorphisms en la estructura aditiva que obedecer la norma Liebnitz regla. Desde aquí hay una relativamente fuerte diferencial de Galois de la teoría que describe cómo la extensión de los diferenciales de los campos de comportarse cuando se tocan las soluciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias.

Mi pregunta es si ha habido cualquier tipo de trabajo en un diferenciales estocásticas álgebra con la modificación de Liebnitz regla que se puede describir cuando las soluciones a SDEs podría estar fuera del alcance de la integración/exponentiating funciones racionales/movimiento Browniano?

Answer 1

Sí. Un estudio sistemático de la estocástica (diferencial) álgebra podría encontrarse en

Grenander, Ulf. Probabilidades en estructuras algebraicas. Dover Books, 1981.

Grenander estudiado la operación de integración en lo que se llama "estocástico semi-grupos". Más específicamente, la Mentira de grupo que representa la probabilidad de medidas equipado con covariable derivados(Mentira derivado en la mayoría de los casos). Si quieres un geométricas vistazo, usted puede echar un vistazo a algunos de referencia de la interpretación geométrica de la general de los procesos estocásticos. De hecho, esta idea no es nueva, la primera motivación de estudiar la probabilidad de medidas a través de una estructura algebraica puede remontarse a la década de 1950, el famoso libro de

Parthasarathy, Kalyanapuram Rangachari. La probabilidad de medidas métricas espacios. Vol. 352. American Mathematical Soc., 1967.

dedicado dos capítulos se extiende la idea de estudiar la probabilidad de medidas sobre localmente compacto grupos, de los cuales clásico grupos se convirtieron en candidatos naturales y por lo tanto la Mentira de derivados es dado para describir el estocástico integraciones. En realidad, esta forma de pensar es bastante dominante en la moderna teoría de la probabilidad obras, no sólo Pathasarathy de la contribución, pero también más tarde, en un estudio llevado a cabo por Ledoux-Talagrand(se generalizó la subyacente espacio en Banch espacios en lugar de un espacio métrico) y Ambrosio (el estudio de flujo de gradiente en el espacio, que consta de medidas de probabilidad.)

Sin embargo, cuando usted ha mencionado diferencial álgebra, en realidad se están refiriendo a un objeto diferente que se inicia por Kolchin et.al. El diferencial de la teoría de Galois es el nombre correcto de la rama que estudia la estructura algebraica equipado con una derivación homomorphism.

El punto aquí es que el diferencial álgebra no proporcionar la penetración profunda en la derivación homomorphism sí mismo sino que se centran en la D-módulo de derivación homomorphisms; sin embargo, el estudio de integración estocástica operadores pueden ser evitadas cuando se sustituye el subyacente medibles espacio y equipados con dispositivos adecuados Mentira estructura, como se muestra por Grenander.