Una función compuesta con la misma produce la identidad

Question

Deje $B$ ser la bola unidad cerrada en $\mathbb R^3$ e $f: B\to B$ continuo, de tal manera que $f\circ f$ es la identidad (es decir, $f\circ f=\mathbb 1_B$) y $f$ restringido en $\partial B$ es también la identidad (es decir, $f|_{\partial B}=\mathbb 1_{\partial B}$). Implica que el $f$ es la identidad en $B$?

EDIT. Si $B$, en cambio, la unidad cerrada de la bola en $\mathbb R^2$, entonces la respuesta es también positivo. (Ver Acción en un Disco es Controlado por el Límite, problema 10442, por R. Bielawski & O. P. Lossers. Am. De matemáticas. Mensual, Vol. 105, Nº 9 (Nov., 1998), pp 860-861.)

Answer 1

Sí. Observe primero que el $f$ puede ser primero extendida a una involución de $\mathbb{R}^3$ y, a continuación, a una involución $F : S^3 \rightarrow S^3$ de la uno-punto compactification de $\mathbb{R}^3$. Un clásico teorema de P. A. Smith dice que el punto fijo conjunto de $F$ es homeomórficos a $S^0$ o $S^1$ o $S^2$ o $S^3$; véase el Teorema 4 de

MR0000177 (1,30 c) Smith, P. A. Las transformaciones del período finito. II. Ann. de Matemáticas. (2) 40, (1939). 690-711.

Por cierto, la prueba demuestra que si $F$ es de la orientación de la preservación, entonces el punto fijo conjunto de $F$ deben $S^1$ o $S^3$, mientras que si $F$ es la orientación de la inversión, entonces el punto fijo conjunto de $F$ deben $S^0$ o $S^2$. En cualquier caso, desde nuestra construcción es claro que el punto fijo conjunto de $F$ debe $S^3$, es decir,$F = \text{id}$.

Debo remarcar que Smith teorema es el comienzo de una larga historia. Véase, en particular, el libro

MR0758459 (86i:57002) El Smith conjetura. Trabajos presentados en el simposio celebrado en la Universidad de Columbia, Nueva York, 1979. Editado por John W. Morgan y Hyman Bass. Pura y Matemática Aplicada, 112. Academic Press, Inc., Orlando, FL, 1984. xv+243 pp. ISBN: 0-12-506980-4

El principal teorema se analizan en este libro dice que si $F$ es un trivial periódico de la orientación de la preservación de homeomorphism de $S^3$, entonces el punto fijo conjunto de $F$ es un unknotted círculo; esto implica que $F$ es topológicamente conjugadas a un elemento del grupo ortogonal. Este resultado fue uno de los primeros triunfos de Thurston del trabajo en 3-variedades.

---

EDIT : Como Mathieu Baillif señala en los comentarios, una manera más fácil para finalizar este sería apelar a un teorema de M. H. A. Newman, que afirma que si $M$ es cualquier conectado el colector y si $F:M \rightarrow M$ es uniformemente continua periódico homeomorphism que corrige un conjunto abierto no vacío en $M$,, a continuación, $F$ es la identidad. La referencia para este resultado es

M. H. A. Newman, Un teorema en el periódico transformaciones de los espacios, Q J Matemáticas (1931) (1): 1-8.

He de comentar que a pesar de su edad, este papel es muy legible.

---

EDIT 2 : he pensado (pero se me olvidó) que se mencione en la respuesta anterior, que el difícil punto de esta pregunta es que el $f$ es sólo supone ser continua. Si $f$ se supone que para ser suave, entonces la cuestión es mucho más fácil. De hecho, tenemos las siguientes fácil lema.

LEMA : Vamos a $M$ ser suave, un colector de vacío de límites y deje $f : M \rightarrow M$ ser un suave mapa tal que $f^k = \text{id}$ para algunos $k \geq 1$ (aquí el exponente significa la composición) y $f|_{\partial M} = \text{id}$. A continuación,$f = \text{id}$.

Para demostrar el lema, primero tenemos que probar que existe un conjunto abierto $U \subset M$ tal que $f|_U = \text{id}$. Elegir una métrica de Riemann $\mu'$ a $M$. La definición de $\mu = \sum_{i=0}^{k-1} (f^i)^{\ast}(\mu')$, la métrica de Riemann $\mu$ es $f$-invariante. Fijar un punto de $p_0 \in \partial M$. Desde $f|_{\partial M} = \text{id}$ tenemos $f(p_0)=p_0$. Mejor aún, $D_{p_0} f : T_{p_0} M \rightarrow T_{p_0} M$ es la identidad en un codimension $1$ hyperplane. Desde $D_{p_0} f$ preserva la métrica y la orientación en $p_0$, llegamos a la conclusión de que en el hecho de $D_{p_0} f = \text{id}$. Utilizando el mapa exponencial, podemos deducir que $f$ es la identidad en un barrio de $p_0$.

En particular, existe un punto de $q_0$ en el interior de $M$ tal que $f(q_0)=q_0$ e $D_{q_0}f = \text{id}$. El uso de un promedio de truco como en el párrafo anterior, podemos optar por una completa $f$-invariantes de Riemann métrica $\nu$ a $\text{Int}(M)$, que es una variedad sin límite. Desde $\nu$ es completa, cualquiera de los dos puntos en $\text{Int}(M)$ están conectados por una $\nu$-geodésico. Utilizando el mapa exponencial en $q_0$, podemos deducir así que $f|_{\text{Int}(M)} = \text{id}$, lo que implica que $f = \text{id}$.