Cuando Grothendieck y sus seguidores estaban trabajando en su profunda progreso de la geometría algebraica, ¿alguna vez considerar la posibilidad de no-conmutativa anillos? ¿Hay alguna evidencia de que Grothendieck previó los acontecimientos que más tarde llegaría en la geometría no conmutativa o cuántica de la teoría de grupo?
Respuesta
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Sí y No, dependiendo del nivel de comprensión. La consideración de no conmutativa anillos diciendo acerca de la geometría es casi inexistente en Grothendieck publicada del opus. Una de las excepciones es que él considera cohomologies para el posiblemente no conmutativa gavillas de $\mathcal{O}$-álgebras para conmutativa $\mathcal{O}$ (el último es el utilizado en Semiquantum geometría). Por otro lado, Grothendieck ha sido pionero en el abandono de los puntos de los espacios como objetos primarios y la promoción de la categoría de las poleas en el espacio, como los que definen el espacio. Este es el punto de vista de la teoría de topos que él inventó; se dio cuenta de que las propiedades topológicas no dependen de un sitio, pero sólo sobre los topos de las poleas, y la propuesta de un "topos" como a un natural de la generalización de un espacio topológico. Manin tomó Grothendieck del consejo que se debe considerar el topos de poleas como el de reemplazar el espacio, junto con Serre del teorema de que la categoría de quasicoherent módulos determina una variedad proyectiva, como una motivación para su acercamiento a la geometría no conmutativa y los grupos cuánticos. La visión moderna de la geometría no conmutativa es que se trata de la presentación del espacio a través de las estructuras que constan de todos los posibles objetos de algún tipo de vida en un espacio (álgebra de funciones, algunas estructuras que constan de cocycles, al igual que la categoría de vector de paquetes, la categoría de las poleas, de categoría superior de las pilas de mayor altura).
En la década de 1960 W. Lawvere, con la ayuda de Tierney, amplió el Grothendieck topoi a la teoría de la primaria topoi. Esta no fue la única contribución de Lawvere en la década de 1960. Lawvere promovido también la dualidad entre espacios y doble los objetos a los que él llama cantidad (cf. el espacio y la cantidad). Mientras Lawvere del impacto ha sido profundo, me opongo a la terminología: en la física de una cantidad es normalmente un único observable; el físico no considerar el álgebra de todos los observables de una cantidad, sino más bien un campo de cantidades, o el álgebra de cantidades. Pero no importa la terminología, Lawvere pasó muy profundamente en la presentación de este punto de vista, que es muy generalizada la geometría no conmutativa. Por supuesto, ni Grothendieck ni Lawvere no prestó especial atención a la reconstrucción de la geometría diferencial y teoría de la medida a partir del estudio de las álgebras de operadores, lo que es la enorme contribución de los Limites, o desde el estudio de la no conmutativa anillos, que estaba implícita en Gabriel 1961 y más explícita con obras de J. S. Golán, van Oystaeyen (y P. M. Cohn con su afín espectro) y otros a mediados de la década de 1970, trabajando con los espectros de no conmutativa anillos y no conmutativa de la localización de la teoría como un no conmutativa análogo de la topología de Zariski. Cabe mencionar que la esporádica aparición de las álgebras de operadores de la geometría no conmutativa punto de vista está presente en algún grado en la década de 1970 libro de Semadeni en espacios de Banach de funciones continuas (MR296671), donde estudia, entre otros temas, el no conmutativa análogos de muchas propiedades topológicas de los espacios topológicos; en menos de forma explícita, hay obras de Irving Segal que había una motivación similar.
Grothendieck, dice en sus memorias que el concepto de abelian categoría como él promovió en Tohoku es parte de la misma filosofía -- abelian categorías, posiblemente con axiomas adicionales como AB5 son una especie de categorías de las poleas de los módulos, y debe ser visto como una idea de que es una especie de abelian/versión estable de Grothendieck topoi. Más precisamente, en esta línea, hay una reciente Nikolai Durov del concepto de un vectoid. Pierre Gabriel, que estaba cerca de Grothendieck de la escuela en sus primeros días, tenía en su obra profética de 1961 reconstrucción teorema de los esquemas y el estudio de las subcategorías y localizaciones en abelian categorías que representan abierto o cerrado subschemes y así sucesivamente. Gabriel del trabajo es, de hecho, la primera gran obra en no conmutativa la geometría algebraica y su reconstrucción teorema es realmente la motivación básica en algebraicas sabor del teorema. En un sentido, Gabriel es un abelian versión de algunos Grothendieck las ideas básicas de la teoría de topos (cf. no conmutativa esquema para una de las ideas modernas a lo largo de esa línea de pensamiento) y Grothendieck fue muy consciente de la abelian dirección de este pensamiento de la Tohoku veces.
Para una vista general, se los recomiendo
- Pierre Cartier, Un loco jornada de trabajo: de Grothendieck para Connes y Kontsevich de La evolución de los conceptos de espacio y la simetría, Bull. Amer. De matemáticas. Soc. 38 (2001), 389-408, pdf.
