El espacio de bucle libre de las esferas

Question

Dejemos que $n>1$ . La homología del espacio de bucle libre $\Lambda S^n$ de la esfera $S^n$ contiene dos torsiones si $n$ es par. Por lo tanto, el fibrado $$ \Omega S^n\rightarrow \Lambda S^n\rightarrow S^n $$ no es trivial si $n$ es par (Aquí $\Omega S^n$ denota el espacio de bucle basado).

Las esferas de dimensión impar no tienen torsión en la homología del espacio de bucle libre y se puede calcular que $H_*(\Lambda S^{2k+1};\mathbb Z)\cong H_*(\Omega S^{2k+1}\times S^{2k+1};\mathbb Z)$ . Por lo tanto, la homología no impide la existencia de una trivialización de la fibración de lazo libre. En efecto, $\Lambda S^3$ y $\Omega S^3\times S^3$ son homeomórficos, lo que puede demostrarse utilizando la estructura de grupo en $S^3$ .

¿Es la fibración del espacio de bucle libre siempre trivial para las esferas de dimensión impar? Mi opinión es que no es así, con la posible excepción de $S^7$ .

Answer 1

Agradezco a Tobias Barthel, que me envió el siguiente trabajo de J. Aguadé:

"Sobre el espacio de bucles libres de una esfera impar". Pub. Mat. UAB nº 25, junio de 1981.

Aguadé demuestra el siguiente teorema

Teorema: Las siguientes son equivalentes:

1. $\Lambda S^{2n+1}\simeq S^{2n+1}\times \Omega S^{2n+1}$ ;
2. La fibración del espacio de bucle libre es homotópicamente trivial
3. $n=0,1,3$ .

Que 3 implique 2 se debe a que estas esferas son $H$ -espacios, lo que ya se ha observado. 2 implica que 1 es trivial. Por lo tanto, lo único que demuestra Aguadé es que 1 implica 3.

Para ello se supone que existe un mapa $f$ induciendo una equivalencia de homotopía. A partir de esto hay un mapa inducido $h:S^1\times S^{2n+1}\times \Omega S^{2n+1}\rightarrow S^{2n+1}$ . Aguadé aplica la construcción de Hopf a este mapa para obtener un mapa $$ \tilde g:S^{2n+1}*(S^1\times S^{2n})\rightarrow S^{2n+2}. $$ El espacio de la izquierda es una cuña de esferas $S^{2n+3}\vee S^{4n+2}\vee S^{4n+3}$ por lo que existe un mapa inducido $g:S^{4n+3}\rightarrow S^{2n+2}$ . Aguadé demuestra que este mapa tiene una invariante de Hopf, por lo que el resultado se deduce.